微扰论 微扰论是量子场论中处理相互作用问题的一种核心近似方法。其基本思想是，当相互作用相比于系统的自由部分（即无相互作用的背景部分）足够微弱时，可以将相互作用的效应视为对自由系统的小修正，并通过逐级展开（微扰展开）进行计算。这个展开通常以耦合常数（描述相互作用强度的参数）的幂次进行。 下面我将逐步解释其核心逻辑和步骤。 第一步：将理论分解为“自由部分”与“相互作用部分” 任何量子场论的拉格朗日量密度（或哈密顿量密度）通常可以写为两部分之和： \[ \mathcal{L} = \mathcal{L} 0 + \mathcal{L} {\text{int}} \] 其中，\(\mathcal{L} 0\) 描述自由场（如自由标量场、狄拉克场、电磁场）的动力学，其对应的运动方程是线性的，可以精确求解。\(\mathcal{L} {\text{int}}\) 则描述场之间的相互作用（如\(\phi^4\)相互作用、量子电动力学中的\(\bar{\psi}\gamma^\mu\psi A_ \mu\)顶点），它使得运动方程变为非线性，通常无法精确求解。 第二步：建立相互作用绘景下的演化框架 （此词条已讲解，此处仅作概念连接）在相互作用绘景中，量子态的时间演化完全由相互作用哈密顿量 \(H_ {\text{int}}\) 驱动，而算符的时间演化则由自由哈密顿量 \(H_ 0\) 驱动。这种分离使得我们可以将精确的演化算符 \(U(t, t_ 0)\) 表达为 \(H_ {\text{int}}\) 的时间序指数形式： \[ U(t, t_ 0) = T \exp\left[ -i \int_ {t_ 0}^{t} H_ {\text{int}}^I(t') dt' \right ] \] 其中 \(T\) 是时序算符，\(H_ {\text{int}}^I\) 是在相互作用绘景中的相互作用哈密顿量。这个表达式是微扰展开的起点。 第三步：对演化算符进行微扰展开 由于指数中的 \(H_ {\text{int}}^I\) 正比于耦合常数（假设为 \(g\)），当 \(g\) 很小时，我们可以将指数函数展开成幂级数： \[ U(t, t_ 0) = \sum_ {n=0}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!} \int_ {t_ 0}^{t} dt_ 1 \cdots \int_ {t_ 0}^{t} dt_ n \, T\left\{ H_ {\text{int}}^I(t_ 1) \cdots H_ {\text{int}}^I(t_ n) \right\} \] 这个展开式意味着，从初态到末态的跃迁振幅，可以表示为一系列项的求和：第 \(n\) 阶项对应着在时空中发生 \(n\) 次相互作用顶点事件的贡献。计算物理过程（如散射截面）就是计算这些项的矩阵元。 第四步：利用维克定理计算编时乘积 展开式中的每一项都包含自由场算符的编时乘积 \(T(\cdots)\)。要计算其在初态和末态之间的矩阵元，需要将这些编时乘积转化为正规序乘积（所有产生算符在左，湮灭算符在右）的和。维克定理提供了系统化的规则：编时乘积等于其正规序乘积加上所有可能方式收缩（即取算符的费曼传播子）后的正规序乘积之和。传播子 \(\Delta_ F(x-y)\) 等是已知的，由自由理论 \(\mathcal{L}_ 0\) 决定。 第五步：从展开项到费曼图与费曼规则 维克定理带来的大量项可以通过图形表示来高效组织，这就是 费曼图 。费曼图的构成要素是： 外线 ：代表初态和末态的粒子。 内线 ：代表虚拟粒子（传播子）。 顶点 ：代表相互作用 \(\mathcal{L}_ {\text{int}}\)，每个顶点耦合常数的幂次和连接的线型由相互作用项决定。 维克定理中的每一项收缩方式都对应一个费曼图。为每个图形元素（线、顶点）赋予一个明确的数学因子（即 费曼规则 ），就可以直接从图形写出对应项的贡献。这极大简化了计算。 第六步：微扰展开的适用范围与发散问题 微扰论的成功依赖于耦合常数 \(g\) 足够小，使得高阶修正项越来越不重要。但在量子场论中，即使对于很小的 \(g\)，计算高阶图时常常会出现积分发散（如紫外发散，对应动量积分趋于无穷大）。这并非物理错误，而是表明需要引入 重整化 程序。重整化通过重新定义场、质量和耦合常数（即吸收发散部分），使得物理可观测量成为有限且可计算的。可重整化理论中，微扰展开的所有阶发散都可以被有限个参数的重整化所吸收。 总结 ：微扰论是一个系统化的近似框架，它从自由场论（可解的基础）出发，将弱相互作用视为微扰，通过展开耦合常数、利用维克定理和费曼图规则，逐阶计算物理过程的概率幅。它是连接量子场论基本拉格朗日量与实验可观测散射截面、衰变宽度等量的关键计算桥梁。