电位移矢量 从静电场的基本定律出发 在真空中，描述静电场的基本规律是库仑定律和由其推导出的高斯定理。高斯定理的积分形式表明：通过任意闭合曲面（高斯面）的电通量，等于该曲面内包围的净电荷量除以真空介电常数 ε₀。其数学表达式为：∮ E ·d S = Q_ inside / ε₀。这里的 E 是真空中的电场强度。 这个公式简洁优美，但它有一个隐含的前提：电场存在于真空中，且所有电荷都是自由电荷。 引入介质后的复杂性 当空间中存在电介质（如塑料、陶瓷、水等）时，情况变得复杂。电介质在电场作用下会发生“极化”：其内部的原子或分子在电场力作用下，正负电荷中心发生微小的相对位移，形成许多微小的“电偶极子”，或者使已有的极性分子转向排列。 这些被束缚在原子或分子上的电荷（束缚电荷）虽然不能自由移动，但它们的重新分布会产生一个附加的电场。因此，介质内部任意一点的合电场 E ，是由外部自由电荷产生的电场与介质极化产生的束缚电荷的电场叠加而成的。 极化强度与束缚电荷 为了描述介质的极化程度，我们引入一个物理量： 极化强度矢量P 。它定义为单位体积内电偶极矩的矢量和。极化强度 P 与束缚电荷有直接关系。可以证明，介质内部束缚电荷体密度 ρ_ p = -∇· P ，而在介质表面，束缚电荷面密度 σ_ p = P · n （ n 是表面外法向单位矢量）。 现在，如果我们将高斯定理应用于存在电介质的系统，高斯面内的总电荷就应包括自由电荷 Q_ f 和束缚电荷 Q_ p。高斯定理应写为：∮ E ·d S = (Q_ f + Q_ p) / ε₀。这里的不便之处在于，束缚电荷 Q_ p 通常难以直接测量和控制，它与电场 E 的关系又比较复杂。 电位移矢量D的引入与定义 为了简化有介质时静电场的分析，我们希望能找到一个只与自由电荷分布有关的表达式。将束缚电荷 Q_ p = ∮ P ·d S （通过闭合曲面的极化强度通量）代入上式： ∮ E ·d S = (Q_ f - ∮ P ·d S ) / ε₀。 整理这个方程：∮(ε₀ E + P )·d S = Q_ f。 我们定义一个新的物理量： 电位移矢量D ，其定义为 D = ε₀ E + P 。它的单位是库仑/平方米 (C/m²)。 于是，上式被简化为：∮ D ·d S = Q_ f。这就是 有电介质时的高斯定理积分形式 。它表明，通过任意闭合曲面的电位移通量（ D 通量），等于该曲面内包围的 自由电荷 的代数和。束缚电荷不再显式地出现在方程中。 深入理解D的物理意义与性质 辅助性 ： D 是一个辅助物理量，没有直接的物理意义。它本身不对电荷产生力，力是由电场强度 E 产生的。 D 的引入纯粹是为了数学上的方便，它“打包”了电场和极化的共同效应，使得高斯定理的形式在涉及介质时变得简洁。 构成关系 ： D 的定义式 D = ε₀ E + P 是普适的。对于大多数线性、各向同性的电介质，极化强度 P 与介质内合电场 E 成正比： P = ε₀χ_ e E ，其中 χ_ e 是介质的电极化率。代入定义式，得到 D = ε₀(1+χ_ e) E = ε₀ε_ r E = ε E 。这里 ε_ r = 1+χ_ e 是相对介电常数，ε = ε₀ε_ r 是绝对介电常数。这个公式 D = ε E 是 物质的电磁性质方程（或称本构关系） 之一，非常重要，但它只适用于线性各向同性介质。 边界条件 ：在两种不同介质的交界面上，由于自由电荷和束缚电荷的分布，电场 E 和 D 会发生突变。利用高斯定理和环路定理可以推导出它们的边界条件。一个重要结论是： D 矢量的法向分量在界面上是连续的（如果界面上没有自由面电荷）；而 E 矢量的切向分量总是连续的。这个条件在求解复杂边界的电场问题时非常关键。 总结与扩展 电位移矢量 D 是处理介质中静电场问题的核心概念。它的高斯定理 ∮ D ·d S = Q_ f 是麦克斯韦方程组中描述静电场部分在介质中的推广形式。 其核心价值在于，它将难以处理的束缚电荷的影响隐含在 D 的定义中，使得方程的源项只剩下可测量、可控制的自由电荷。计算时，通常先利用自由电荷的分布和对称性，由 D 的高斯定理求出 D 的分布，再通过本构关系 D = ε E 求出实际电场 E 的分布。 在时变电磁场中， D 对时间的变化率 ∂ D /∂t 被称为“位移电流密度”，是麦克斯韦对安培环路定理进行扩充的关键项，它揭示了变化的电场也能激发磁场。