弹性碰撞
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基本概念与定义：在经典力学中，碰撞是指两个或多个物体在极短时间内发生强烈的相互作用，其运动状态发生急剧变化的过程。碰撞的核心特征是相互作用时间极短，相互作用力（即碰撞力）极大，通常远大于重力、摩擦力等常规外力。根据碰撞过程中系统总动能是否守恒，碰撞可分为两大类：弹性碰撞和非弹性碰撞。弹性碰撞是一种理想化的模型，其定义为：在碰撞过程中，系统的总动量和总动能都保持守恒。
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守恒定律的应用：对于一个由两个物体（质点）组成的孤立系统（即不受外力或合外力为零），无论发生何种碰撞，系统的总动量必然守恒。这是动量守恒定律的直接结论。设质量分别为 \(m_1\) 和 \(m_2\) 的两个物体，碰撞前的速度分别为 \(\vec{v}_{1i}\) 和 \(\vec{v}_{2i}\)，碰撞后的速度分别为 \(\vec{v}_{1f}\) 和 \(\vec{v}_{2f}\)。动量守恒定律给出：
\[ m_1 \vec{v}_{1i} + m_2 \vec{v}_{2i} = m_1 \vec{v}_{1f} + m_2 \vec{v}_{2f} \]
对于弹性碰撞，除了动量守恒，还额外增加一个约束条件——动能守恒：
\[ \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 \]
注意，动能是标量，等式中的速度为速率（速度矢量的大小）。
- 一维弹性碰撞的求解：为了简化，我们先考虑一维情形，即所有速度都沿同一条直线（例如x轴）。此时，矢量方程可简化为标量方程（需设定正方向，速度可正可负）。动量守恒和动能守恒方程联立：
\[ m_1 v_{1i} + m_2 v_{2i} = m_1 v_{1f} + m_2 v_{2f} \]
\[ \frac{1}{2} m_1 v_{1i}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2i}^2 = \frac{1}{2} m_1 v_{1f}^2 + \frac{1}{2} m_2 v_{2f}^2 \]
通过代数运算，可以从这两个方程解出碰撞后的速度。一个更简洁且物理意义更清晰的推导方法是：先将动量守恒方程移项 $ m_1 (v_{1i} - v_{1f}) = m_2 (v_{2f} - v_{2i}) $，再将动能守恒方程变形为 $ m_1 (v_{1i}^2 - v_{1f}^2) = m_2 (v_{2f}^2 - v_{2i}^2) $。将后者除以前者（假设速度变化不为零），得到：
\[ v_{1i} + v_{1f} = v_{2i} + v_{2f} \]
这个关系式意味着，在弹性碰撞中，碰撞前两物体的相对接近速度等于碰撞后两物体的相对分离速度。由此，结合动量守恒方程，最终可以解出：
\[ v_{1f} = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2} v_{1i} + \frac{2m_2}{m_1 + m_2} v_{2i} \]
\[ v_{2f} = \frac{2m_1}{m_1 + m_2} v_{1i} + \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} v_{2i} \]
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几种重要特例的分析：
- 等质量物体的交换速度：当 \(m_1 = m_2\) 时，公式简化为 \(v_{1f} = v_{2i}\)， \(v_{2f} = v_{1i}\)。即两物体交换速度。
- 重物撞击静止的轻物：若 \(m_1 \gg m_2\)，且 \(v_{2i} = 0\)，则 \(v_{1f} \approx v_{1i}\)， \(v_{2f} \approx 2v_{1i}\)。这意味着重物体速度几乎不变，而轻物体以约两倍于重物的初速度被弹开。
- 轻物撞击静止的重物：若 \(m_1 \ll m_2\)，且 \(v_{2i} = 0\)，则 \(v_{1f} \approx -v_{1i}\)， \(v_{2f} \approx 0\)。这意味着轻物体以近乎原速率反弹回来，而重物体几乎保持静止。这是小球垂直撞击地面（地球）反弹的近似模型。
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二维弹性碰撞简介：在二维或三维空间中，弹性碰撞分析更为复杂，但核心守恒定律依然适用。此时，动量守恒是一个矢量方程，通常在两个互相垂直的方向（如x和y方向）上分别列写分量式。动能守恒仍是一个标量方程。对于两个物体的碰撞，通常已知它们的初始速度矢量，而未知的是四个量（两个末速度矢量的x、y分量），但守恒定律只提供三个独立方程（动量两个方向，动能一个）。因此，要完全确定碰撞结果，还需要一个额外条件，例如碰撞的几何关系（如其中一个物体碰撞后的运动方向，或称“散射角”），这通常与物体间的具体相互作用力有关。实验室中著名的“粒子散射”实验就基于此原理。