拓扑序 首先，想象一个普通的水。在绝对零度附近，它会结晶成冰。冰是一种“有序”相，它的分子排列成规则的周期性图案，我们可以用一个简单的“序参量”（如分子位置的周期性）来描述它。这种由局域对称性破缺产生的有序，是传统凝聚态物理理解物相的核心，比如铁磁、超流、晶体等都属于此类。 然而，在低温下，某些特殊的量子物质系统（通常是强关联电子系统或高度阻挫的自旋系统）会进入一种全新的物态。它没有自发的对称性破缺，也没有局域的序参量。但它与平庸的绝缘体（或平庸的液体）又有本质区别。这种本质上“有序”但无法用对称性破缺来描述的新物态，就是“拓扑序”。 要理解拓扑序，需要进入第二步：认识“拓扑”。在数学上，拓扑关注物体在连续形变下保持不变的整体性质。比如，一个带把手的咖啡杯和一个甜甜圈在拓扑上是等价的（亏格=1），因为它们都可以通过连续拉伸、弯曲（但不撕裂、不粘连）变成对方。而它们与一个球（亏格=0）是拓扑不同的。拓扑序中的“拓扑”，就是指该物态的整体波函数具有某种类似“亏格”的、整体性的、离散的量子数，它不依赖于系统的局部细节，且在连续形变下保持不变。 这种整体性的拓扑性质会带来哪些可观测的物理效应呢？第三步，我们来看拓扑序的标志性特征。主要包括： 基态简并依赖于流形拓扑 ：将系统放在一个有“洞”（如环面、高阶亏格的曲面）的流形上时，其基态（能量最低的状态）不是唯一的，而是有精确的简并度。并且，这个简并度的数目 只依赖于流形的拓扑 （如洞的个数），而不依赖于系统的具体形状和大小。这是拓扑序最根本的定义性特征。 分数化激发与任意子统计 ：拓扑序系统中可能存在的低能激发，其携带的量子数（如电荷、自旋）是电子量子数的分数（如1/3, 1/5），称为“分数化激发”。更关键的是，这些激发粒子在二维空间中交换时，其波函数获得的相位因子不限于玻色子的+1或费米子的-1，而可以是任意复数，因此被称为“任意子”。其中非阿贝尔任意子的交换操作，相当于对系统的简并基态进行一个非平凡的幺正变换，可用于拓扑量子计算。 拓扑纠缠熵 ：当用一块区域去测量系统的量子纠缠熵时，除了正比于区域边界的“面积律”项（所有局域系统都有），拓扑序系统还有一个与边界形状、大小都无关的负常数项。这个负常数是拓扑不变的，直接表征了拓扑序的类型。 第四步，看一个具体的物理实现模型： 环面编码 。这是理解拓扑序最清晰的玩具模型。设想一个二维的量子自旋（1/2自旋）方格模型，哈密顿量是特定四自旋算符的求和。它的基态是一个高度纠缠的量子叠加态，没有局域序。在环面（轮胎表面）上，它有 四重简并 的基态。这个简并与任何对称性无关，完全由环面有两个非平庸的环（两个“洞”）的拓扑决定。其激发是“分数化”的，表现为端点带有“弦”的“荷”和“磁通”，并且交换这些激发会产生非平凡的统计相位。 最后，总结一下拓扑序的意义。它超越了朗道对称性破缺范式，是凝聚态物理中对量子物相分类的全新范式。它解释了 分数量子霍尔效应 中出现的分数电荷、分数统计等现象的根本起源（分数量子霍尔态就是一种手征拓扑序）。它也是理解 量子自旋液体 （如前述）可能相的核心理论框架。更重要的是，拓扑序为实现容错的拓扑量子计算提供了最坚实的物理基础，其中非阿贝尔任意子的编织操作被认为是实现量子比特逻辑门的理想方式。