声学角谱扩展
现在我将循序渐进地讲解声学角谱扩展的概念。
第一步：理解角谱法的回顾与局限
在声学角谱法中，我们已知一个基本假设：任何复杂声场都可以通过对其进行空间傅里叶变换，分解为一系列不同传播方向的平面波（即角谱）。每一种平面波分量对应一个特定的空间频率（kx， ky），其在z方向（假设为传播主方向）的波数kz由关系式 kz = sqrt(k² - kx² - ky²) 决定，其中k是波数。当 kx² + ky² ≤ k² 时，kz为实数，对应的平面波是传播波，能携带能量向远场传播。当 kx² + ky² > k² 时，kz为虚数，对应的平面波是倏逝波，其振幅沿z方向指数衰减，通常只在近场存在。
传统角谱法的一个核心局限在于，它严格依赖于对平行于xy平面的某一“源平面”上声压或振速的精确、完整测量或已知。这个信息是进行空间傅里叶变换的“初始条件”。
第二步：角谱扩展的引入——解决“源平面未知”问题
声学角谱扩展技术要解决的核心问题是：当无法直接测量或定义这个理想的源平面时，如何从有限区域（如一个孔径或测量面）上获得的有限声场数据，稳健地、高精度地重构出整个声场（尤其是向远场外推）？
简单来说，角谱扩展是一种逆问题求解方法。输入是：在某个有限区域（如测量面）上测量到的声压（有时包括法向粒子速度）的复振幅分布。输出是：扩展到整个空间（包括源平面和远场）的声场分布，或者等效地，反演出等效源（如声源分布）的特性。
第三步：角谱扩展的基本数学模型
其数学模型通常从亥姆霍兹方程和瑞利积分（或Kirchhoff-Helmholtz积分公式）出发。测量面M上的声压 p(x，y，z_M) 被视为已知。角谱扩展的目标是找到一个位于另一平面S（通常是更靠近声源的虚拟源平面）上的等效源分布 q(x，y，z_S)，使得由该等效源根据声传播规律（如空间脉冲响应或角谱传播算子）计算出的声场，在测量面M上与测量数据最佳匹配。
这通常被表述为一个最小化问题： minimize || p_measured - H * q ||² + λ * R(q)
其中，H是从源平面S到测量面M的传播算子（在角谱域中，它表现为一个相位项 exp(i kz Δz)），λ是正则化参数，R(q)是正则化项（如Tikhonov正则化，或基于稀疏性的正则化），用于克服问题的病态性（即测量数据的微小误差会导致解的极大不稳定）。
第四步：关键技术与挑战
- 传播算子的构建与逆传播：核心是利用角谱域中的正向传播传递函数 H(kx, ky; Δz) = exp(i kz Δz)，其中Δz是源平面与测量面的距离。逆问题求解需要处理其逆过程，即 exp(-i kz Δz)。对于传播波（实kz），这是一个相位补偿过程。对于倏逝波（虚kz），逆传播算子 exp(κz Δz) 是指数放大的（κz = sqrt(kx² + ky² - k²)），这会放大测量噪声，是病态性的主要来源。
- 正则化与滤波：为了抑制噪声放大，必须引入正则化。在角谱域中，一种直观的方法是应用低通滤波，即当空间频率 sqrt(kx²+ky²) 超过某个阈值（通常略高于波数k）时，强行将对应的传递函数逆置零或衰减。这等效于牺牲对倏逝波信息（对应超分辨率）的恢复，以换取解的稳定性。更高级的正则化方法（如Tikhonov, Truncated SVD）在数学上更严谨。
- 测量孔径有限的影响：有限大小的测量孔径相当于对无限大理想声场施加了一个空间窗函数。这会在角谱域中引入卷积效应，导致空间频率（角谱）的频谱泄漏和分辨率下降。角谱扩展算法需要部分补偿这一效应。
- 多平面测量：在单一测量面上，区分传播波和倏逝波信息非常困难。如果在多个不同z位置的平面上进行测量（即声场层析），则可以利用不同平面上倏逝波衰减不同的特性，更有效地分离和重建包含倏逝波的高分辨率信息，实现声学超分辨成像。
第五步：主要应用领域
- 近场声全息：这是角谱扩展最经典的应用。通过在声源近场的一个平面上测量声压，利用角谱扩展技术反演计算出声源表面的振动速度分布（振型）和辐射声场，用于噪声源定位和识别。
- 声场外推与内插：从测量面的数据，可以稳健地计算出比测量面更靠近声源的平面（内插）或更远离声源的远场（外推）的声场分布，这对于预测远场辐射特性和声源重构至关重要。
- 波束形成后处理：传统的传声器阵列波束形成得到的声源图分辨率受限于瑞利判据。结合角谱扩展思想，可以对波束形成结果进行解卷积或逆传播处理，实现分辨率超过衍射极限的声源成像。
- 虚拟声学环境模拟：通过有限测量数据重构出完整的声场角谱，可用于重放或模拟该声场在自由空间或其他环境下的传播效果。
总结：声学角谱扩展是传统角谱法的增强和逆问题求解版本。它通过引入正则化等数学工具，克服了有限孔径测量、噪声干扰和逆传播病态性等难题，实现了从局部、有限的声场测量数据中，高精度地重构出整个空间的声场或等效声源信息，是现代声学测量、成像和预测中的一项关键技术。