电导率与欧姆定律的微观解释 从宏观现象到基本定律 在电路分析中，最基本的经验定律是 欧姆定律 ，其宏观微分形式为： J = σE 。其中， J 是电流密度矢量（单位面积通过的电流）， E 是导体内部的电场强度，σ 是一个称为 电导率 的材料常数。这个公式表明，在稳态条件下，导体中任一点的电流密度与该点的电场强度成正比，且方向相同。其倒数 ρ = 1/σ 称为电阻率。 深入物质内部：载流子与运动图像 为什么会有这样的线性关系？这需要从导体（以金属为例）的微观结构出发。金属内部存在大量可自由移动的电子，称为 自由电子 或 传导电子 。在没有外电场时，这些电子做无规则的热运动，平均速度为零，不形成宏观电流。当存在恒定外电场 E 时，每个自由电子会受到电场力 F = -eE ，从而获得一个与电场方向相反的定向加速度。这似乎意味着电子会持续加速，电流会无限增大，但这与稳态电流的观察事实不符。 关键机制：散射与平均自由时间 电子不会持续加速的原因是，它们在运动中会与晶格离子（原子实）、杂质、缺陷等发生频繁的碰撞（或称散射）。每次碰撞后，电子定向运动的速度方向会被随机化，我们可以近似认为碰撞后电子定向运动的速度平均为零。在两次碰撞之间，电子在电场力作用下加速。设两次碰撞的平均时间间隔为 τ ，称为 弛豫时间 或 平均自由时间 。这是一个关键微观参数，取决于材料种类、纯度和温度。 推导漂移速度 考虑一个典型电子。假设它刚经历一次碰撞，定向速度为零。在电场 E 作用下，它获得加速度 a = -eE / m (m为电子质量)。经过时间 t（t ≤ τ）后，其定向速度（即漂移速度 v_ d ）为 a* t 。由于电子发生碰撞的时刻是随机的，我们需要对所有可能的自由飞行时间 t 求平均。计算表明，平均漂移速度 <v_ d> = - (eτ / m) E 。定义 μ = |e|τ / m 为 电子迁移率 ，则 v_ d = -μ E （方向与E相反）。 建立微观与宏观的联系 设单位体积内的自由电子数（载流子数密度）为 n。电流密度 J 的定义是：单位时间内垂直通过单位面积的电量。在垂直于电流的方向取一个小面积 ΔA，在 Δt 时间内，能以速度 v_ d 通过该面积的电子，位于长度为 v_ d Δt 的柱体内。该柱体内的电子数为 n v_ d Δt ΔA，总电量为 -e n v_ d Δt ΔA。因此，电流密度大小为 J = (电量) / (Δt ΔA) = e n v_ d（注意 v_ d 是矢量，方向与电场相反，但负电荷定向移动形成的电流方向与电场相同）。代入漂移速度公式： J = e n (eτ / m) E = (n e² τ / m) E 。 得到电导率的微观表达式 将上述结果与宏观欧姆定律 J = σ E 对比，立即得到金属电导率的微观表达式： σ = n e² τ / m 。 这个公式深刻地揭示了宏观电导率 σ 的微观决定因素： 载流子密度 n 、 载流子电荷 e 、 载流子质量 m 以及最重要的、反映散射强弱的过程参数 平均自由时间 τ 。温度升高时，晶格振动加剧，散射增强，τ 减小，因此金属电阻率 ρ (=1/σ) 随温度升高而增大。 适用条件与扩展 上述推导基于经典力学（Drude模型），做了许多简化（如所有电子具有相同的 τ，碰撞后速度完全随机化等）。更精确的描述需要使用量子统计理论（费米气体模型），但其最终得到的电导率形式在大多数情况下与经典结果相似，只是对参数的解释（如参与导电的电子能量、有效质量 m* 等）更为精确。欧姆定律 J = σE 是一个 本构关系 ，它在电场变化不太快（频率远小于 1/τ）时成立。对于时变场，σ 会变为复数，反映电流对电场的滞后响应。