真空的Wess-Zumino-Witten模型与共形场论

1. 基础概念引入：首先，我们需要理解几个背景概念。在量子场论中，一个“共形场论”是一种具有共形对称性（即在尺度变换和特殊共形变换下不变的场论）的量子场论，在二维时尤其重要。而“Wess-Zumino项”最早是作为四维手征反常的一种补偿项被引入的，后来由Witten引入到二维非线性σ模型中，以描述具有拓扑相互作用的特定场论。因此，Wess-Zumino-Witten模型是这两种思想的结合。

2. 模型的具体构造：WZW模型描述的是一个在二维时空上运动的场。这个场不是一个普通的标量或旋量场，而是一个取值在某个李群G（如SU(N)）上的矩阵值场，记作g(x)。它的作用量由两部分构成：一部分是标准的非线性σ模型项，类似于在弯曲的群流形“靶空间”上的动能项；另一部分就是Wess-Zumino项，这是一个拓扑项，形式上可以看作是在一个三维的“填充”空间（其边界是我们的二维时空）上的积分。这个拓扑项使得作用量在模掉2π的整数倍后才有良好定义，从而导致了耦合常数（通常记作k，称为“水平”）必须是整数。这是一个关键的量子化条件。

3. 对称性与守恒流：WZW模型拥有非常丰富的对称性。首先，它当然具有模型的全局手征对称性G_L × G_R，即g(x) → h_L g(x) h_R^{-1}，其中h_L, h_R是群G的独立常数元。更深刻的是，由于其特殊的结构，这个经典的对称性在量子层面上没有反常，得以保持。诺特定理对应这些对称性给出守恒流。在二维，这些流可以被分解成纯左移和纯右移的部分，分别满足∂- j+^a = 0 和 ∂+ j-^a = 0，表明它们是纯粹左行和右行的波。

4. 量子化与共形不变性：当我们对这个模型进行量子化时，奇迹出现了。尽管经典的非线性σ模型通常不是共形不变的（其β函数不为零），但加入整数水平k的Wess-Zumino项后，两种项的贡献在量子水平上精确抵消，使得整个理论的β函数在领头阶（甚至所有阶，对于某些群）为零。这意味着WZW模型是一个精确的二维共形场论。其中心荷c（共形代数的一个重要参数）可以由群G和水平k明确给出，例如对于G=SU(N)，c = k (N^2 - 1) / (k + N)。

5. 算子代数与关联函数：作为有理共形场论的一个基本例子，WZW模型的物理内容由其“算子乘积展开”完全决定。模型中的基本场g(x)本身是一个“主场”，在共形变换下具有特定的权重。由对称性流j(z)（这里换到复坐标）生成的代数，经过量子化后，从经典的流代数变成了相应的“仿射李代数”（或Kac-Moody代数），其中心荷扩展由水平k给出。模型的所有局域算子（物理态）都组织成这个仿射李代数的最高权表示。这使得我们可以利用庞大的表示论工具精确计算其关联函数，例如四点函数常常可以表示为已知的特殊函数。

6. 物理应用与意义：WZW模型是二维共形场论和可积系统的基石。它在多个物理领域有核心应用：①弦理论：在玻色弦理论中，WZW模型是描述在群流形（如SU(2)≈S^3）上传播的弦的世界面理论；在杂化弦中，其流代数产生规范对称性。②凝聚态物理：它是描述一维量子自旋链、量子霍尔效应边缘态以及Luttinger液体等强关联系统低能行为的关键有效理论。③对偶性：通过“玻色-费米对偶”，特定水平的WZW模型与自由费米子理论等价，例如水平k=1的SU(N) WZW模型等价于N个自由狄拉克费米子。④作为更大理论的结构单元：它是构建更复杂的共形场论（如最小模型、超对称模型）和拓扑场论（如Chern-Simons理论的边界理论）的必备组件。