相互作用绘景
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经典力学与绘景的概念引入
在经典力学中，描述一个系统的演化有两种等价方式。第一种是薛定谔绘景：物理可观测量（如位置、动量）本身不随时间变化，而系统的态矢（由波函数描述）随时间演化。第二种是海森堡绘景：态矢恒定不变，而所有物理可观测量随时间演化。这两种描述通过一个依赖于时间的幺正变换相互联系，给出完全相同的物理预言。量子场论是量子力学在具有无穷多自由度的场系统上的扩展，因此同样存在这些不同的“绘景”，即不同的时间演化分配方案。 -
量子力学绘景的局限性
在基础的量子力学中，通常处理的是哈密顿量不显含时间的系统。但在量子场论，尤其是在我们想计算散射截面等实际问题时，哈密顿量通常可以拆分为两部分：自由哈密顿量 \(H_0\) 和相互作用哈密顿量 \(H_{\text{int}}\)。其中 \(H_0\) 描述自由传播的、可精确求解的粒子，而 \(H_{\text{int}}\) 描述粒子间的相互作用，通常使得整个系统的薛定谔方程难以精确求解。无论是纯态矢演化的薛定谔绘景，还是纯算符演化的海森堡绘景，在处理这种相互作用时都显得不便。 -
相互作用绘景的构造思路
相互作用绘景（又称狄拉克绘景）是一种混合绘景，其核心思想是将时间演化“拆分”：- 将自由粒子的演化（由 \(H_0\) 主导）交给算符（即场算符）来承担。
- 将相互作用的效应（由 \(H_{\text{int}}\) 主导）交给态矢来承担。
具体构造如下：假设在薛定谔绘景中，态矢 \(|\Psi_S(t)\rangle\) 满足薛定谔方程，算符 \(O_S\) 不随时间变。我们定义一个依赖于时间的幺正变换：
\[ |\Psi_I(t)\rangle = e^{iH_0 t} |\Psi_S(t)\rangle \]
\[ O_I(t) = e^{iH_0 t} O_S e^{-iH_0 t} \]
这里的 $H_0$ 是自由哈密顿量在薛定谔绘景中的形式。下标 $I$ 表示相互作用绘景。
- 相互作用绘景中的演化方程
通过上述定义，我们可以推导出相互作用绘景中的基本运动方程：- 态矢演化：相互作用绘景中的态矢 \(|\Psi_I(t)\rangle\) 的演化由相互作用哈密顿量决定：
\[ i\frac{\partial}{\partial t} |\Psi_I(t)\rangle = H_I(t) |\Psi_I(t)\rangle \]
其中，$H_I(t) = e^{iH_0 t} H_{\text{int}}^S e^{-iH_0 t}$ 是相互作用哈密顿量在相互作用绘景中的形式。这是一个薛定谔型的方程，但驱动力只来自相互作用部分。
* **算符演化**：相互作用绘景中的算符（特别是**场算符**）的演化由自由哈密顿量决定：
\[ i\frac{\partial}{\partial t} O_I(t) = [O_I(t), H_0] \]
注意这里的 $H_0$ 在相互作用绘景中与在薛定谔绘景中形式相同（因为它与自己的指数函数对易）。这意味着，**场算符满足的是自由的运动方程**（如克莱因-戈登方程、狄拉克方程），与不存在相互作用时一样。这是相互作用绘景的巨大优势：我们处理的场算符是“自由”的。
- 相互作用绘景在量子场论中的核心作用：微扰展开的框架
相互作用绘景是进行微扰论计算的天然框架。由于态矢的演化只依赖于（通常很小的）\(H_I\)，我们可以将演化算符按 \(H_I\) 的幂次展开。从初始时刻 \(t_0\) 到末时刻 \(t\) 的演化算符 \(U(t, t_0)\) 可以写成一个戴森级数：
\[ U(t, t_0) = T \exp\left[-i \int_{t_0}^{t} H_I(t') dt' \right] \]
这里 $T$ 是**时序乘积符号**，它保证了表达式中的算符按时间顺序排列。将指数展开成幂级数，就得到一系列 $H_I$ 在不同时间点的乘积的积分。由于 $H_I(t)$ 本身是相互作用绘景中的场算符（自由场）的乘积，例如 $H_I \sim \lambda \phi_I^4$，因此展开后的每一项都是一系列自由场算符在时空点的乘积的期望值。
- 与路径积分的联系及物理意义
在路径积分表述中，我们直接对场构型进行积分。而在相互作用绘景的微扰展开中，我们得到的正是这些自由场算符乘积的真空期望值，即编时关联函数。根据维克定理，这些自由场的编时关联函数可以系统地分解为两两配对的乘积之和，这些配对正是费曼传播子。因此，相互作用绘景的微扰展开直接、系统地导出了费曼规则：每一项展开对应一个费曼图，积分对应动量空间的积分，系数来自耦合常数和对称因子。相互作用绘景态矢的演化，最终被翻译成了粒子（由自由场产生和湮灭）在相互作用顶点处散射、并自由传播的直观图像。它是连接抽象算符形式与具象费曼图计算的关键桥梁。