拉格朗日方程

字数 3134 2025-12-15 12:31:05

拉格朗日方程

首先，从牛顿力学到拉格朗日力学的基本思路出发。牛顿第二定律（\(\mathbf{F}=m\mathbf{a}\)）的核心是“力”，它直接处理矢量（力、加速度），在直角坐标系中非常直观。但当系统存在约束（比如物体被限制在曲线或曲面上运动）时，直接使用牛顿定律就变得复杂，因为需要求解约束力。

于是，我们引入一个更普适的出发点：能量。对于一个力学系统，有两个关键的能量标量：动能 \(T\) 和势能 \(U\)。拉格朗日力学不直接关注力，而是关注这两个量的差值。

由此，定义拉格朗日量 \(L\) （或拉格朗日函数）：

\[L = T - U \]

其中，动能 \(T\) 是系统运动快慢的度量，势能 \(U\) 是系统位置（在保守力场中）的度量。注意，这里假设系统受到的力是保守力，或者非保守力部分可以单独处理。

现在，要描述系统的运动，我们需要一套“坐标”。牛顿力学中用位置矢量 \((x, y, z)\)，但在有约束的系统中，独立变量的数目会减少。我们引入广义坐标 \(q_i\) （其中 \(i = 1, 2, ..., n\)）。广义坐标是能完全确定系统位形（即所有质点的位置）的最少独立变量。它们可以是长度、角度或其他任何量。例如，单摆的摆角 \(\theta\) 就是一个广义坐标。

系统的动能 \(T\) 和势能 \(U\) 需要写成这些广义坐标 \(q_i\) 和它们的时间导数（即广义速度 \(\dot{q}_i\)）的函数： \(T(q_i, \dot{q}_i, t)\)， \(U(q_i, t)\)。注意，动能通常依赖于速度，势能通常只依赖于位置。

核心问题：如何从拉格朗日量 \(L(q_i, \dot{q}_i, t)\) 得到系统的运动方程？答案是哈密顿原理（你已学过）。该原理指出，系统在任意两个时刻 \(t_1\) 和 \(t_2\) 间的实际运动路径，是使作用量 \(S\) 取平稳值（通常是极小值）的那条路径。作用量定义为拉格朗日量对时间的积分：

\[S = \int_{t_1}^{t_2} L(q_i, \dot{q}_i, t) \, dt \]

平稳值意味着对路径的任意微小变动 \(\delta q_i\)（在端点处为零），作用量的一阶变分 \(\delta S = 0\)。

对这个变分问题应用变分法，可以得到一组微分方程。推导过程简述如下：考虑作用量 \(S\) 的变分：

\[\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i} \left( \frac{\partial L}{\partial q_i} \delta q_i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta \dot{q}_i \right) dt = 0 \]

注意到 \(\delta \dot{q}_i = \frac{d}{dt}(\delta q_i)\)，对第二项分部积分：

\[\int_{t_1}^{t_2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \frac{d}{dt}(\delta q_i) dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \delta q_i \right|_{t_1}^{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) \delta q_i \, dt \]

由于路径端点固定 (\(\delta q_i(t_1) = \delta q_i(t_2) = 0\))，边界项为零。代入后得：

\[\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \sum_{i} \left[ \frac{\partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i \right) \right] \delta q_i \, dt = 0 \]

由于每个 \(\delta q_i\) 都是独立的任意变分，要使积分对所有变分都为零，方括号内的项必须各自为零。由此得到著名的拉格朗日方程（或欧拉-拉格朗日方程）：

\[\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_i} = 0, \quad (i = 1, 2, ..., n) \]

这就是系统运动所遵循的方程。我们通常称 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\) 为广义坐标 \(q_i\) 对应的广义动量（记为 \(p_i\)），称 \(\frac{\partial L}{\partial q_i}\) 为广义坐标 \(q_i\) 对应的广义力。

最后，用单摆的例子来具体演示。设单摆摆长为 \(l\)，质量为 \(m\)，摆角 \(\theta\) 为广义坐标。则：
动能 \(T = \frac{1}{2} m (l \dot{\theta})^2\)
势能 \(U = mgl(1 - \cos\theta)\)（以悬点为势能零点，或只取变化部分 \(-mgl\cos\theta\)，常数不影响方程）
拉格朗日量 \(L = T - U = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta\)（势能项符号由定义决定，这里 \(U = -mgl\cos\theta\) 会导致正号，但通常写作 \(L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1-\cos\theta)\)，为简便我们用 \(L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta\)，因为加常数不影响）。
计算：\(\frac{\partial L}{\partial \theta} = -mgl\sin\theta\)， \(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m l^2 \dot{\theta}\)， \(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = m l^2 \ddot{\theta}\)。
代入拉格朗日方程： \(m l^2 \ddot{\theta} - (-mgl\sin\theta) = 0\)，即 \(m l^2 \ddot{\theta} + mgl\sin\theta = 0\)，或 \(\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0\)。这正是单摆的运动方程。

由此可见，拉格朗日方程从标量函数（能量）出发，通过一套统一的数学程序，自动导出了系统的运动方程。它特别适用于复杂约束系统、多自由度系统，并且是通向哈密顿力学和现代物理（如量子场论）的基石。

拉格朗日方程首先，从牛顿力学到拉格朗日力学的基本思路出发。牛顿第二定律（\(\mathbf{F}=m\mathbf{a}\)）的核心是“力”，它直接处理矢量（力、加速度），在直角坐标系中非常直观。但当系统存在约束（比如物体被限制在曲线或曲面上运动）时，直接使用牛顿定律就变得复杂，因为需要求解约束力。于是，我们引入一个更普适的出发点：能量。对于一个力学系统，有两个关键的能量标量：动能 \(T\) 和势能 \(U\) 。拉格朗日力学不直接关注力，而是关注这两个量的差值。由此，定义拉格朗日量 \(L\) （或拉格朗日函数）： \[ L = T - U \] 其中，动能 \(T\) 是系统运动快慢的度量，势能 \(U\) 是系统位置（在保守力场中）的度量。注意，这里假设系统受到的力是保守力，或者非保守力部分可以单独处理。现在，要描述系统的运动，我们需要一套“坐标”。牛顿力学中用位置矢量 \((x, y, z)\)，但在有约束的系统中，独立变量的数目会减少。我们引入广义坐标 \(q_ i\) （其中 \(i = 1, 2, ..., n\)）。广义坐标是能完全确定系统位形（即所有质点的位置）的最少独立变量。它们可以是长度、角度或其他任何量。例如，单摆的摆角 \(\theta\) 就是一个广义坐标。系统的动能 \(T\) 和势能 \(U\) 需要写成这些广义坐标 \(q_ i\) 和它们的时间导数（即广义速度 \(\dot{q}_ i\)）的函数： \(T(q_ i, \dot{q}_ i, t)\)， \(U(q_ i, t)\)。注意，动能通常依赖于速度，势能通常只依赖于位置。核心问题：如何从拉格朗日量 \(L(q_ i, \dot{q} i, t)\) 得到系统的运动方程？答案是哈密顿原理（你已学过）。该原理指出，系统在任意两个时刻 \(t_ 1\) 和 \(t_ 2\) 间的实际运动路径，是使作用量 \(S\) 取平稳值（通常是极小值）的那条路径。作用量定义为拉格朗日量对时间的积分： \[ S = \int {t_ 1}^{t_ 2} L(q_ i, \dot{q}_ i, t) \, dt \] 平稳值意味着对路径的任意微小变动 \(\delta q_ i\)（在端点处为零），作用量的一阶变分 \(\delta S = 0\)。对这个变分问题应用变分法，可以得到一组微分方程。推导过程简述如下：考虑作用量 \(S\) 的变分： \[ \delta S = \int_ {t_ 1}^{t_ 2} \sum_ {i} \left( \frac{\partial L}{\partial q_ i} \delta q_ i + \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_ i} \delta \dot{q} i \right) dt = 0 \] 注意到 \(\delta \dot{q} i = \frac{d}{dt}(\delta q_ i)\)，对第二项分部积分： \[ \int {t_ 1}^{t_ 2} \frac{\partial L}{\partial \dot{q} i} \frac{d}{dt}(\delta q_ i) dt = \left. \frac{\partial L}{\partial \dot{q} i} \delta q_ i \right| {t_ 1}^{t_ 2} - \int {t_ 1}^{t_ 2} \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q} i} \right) \delta q_ i \, dt \] 由于路径端点固定 (\(\delta q_ i(t_ 1) = \delta q_ i(t_ 2) = 0\))，边界项为零。代入后得： \[ \delta S = \int {t_ 1}^{t_ 2} \sum {i} \left[ \frac{\partial L}{\partial q_ i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_ i \right) \right] \delta q_ i \, dt = 0 \] 由于每个 \(\delta q_ i\) 都是独立的任意变分，要使积分对所有变分都为零，方括号内的项必须各自为零。由此得到著名的拉格朗日方程（或欧拉-拉格朗日方程）： \[ \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_ i} \right) - \frac{\partial L}{\partial q_ i} = 0, \quad (i = 1, 2, ..., n) \] 这就是系统运动所遵循的方程。我们通常称 \(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_ i}\) 为广义坐标 \(q_ i\) 对应的广义动量（记为 \(p_ i\)），称 \(\frac{\partial L}{\partial q_ i}\) 为广义坐标 \(q_ i\) 对应的广义力。最后，用单摆的例子来具体演示。设单摆摆长为 \(l\)，质量为 \(m\)，摆角 \(\theta\) 为广义坐标。则：动能 \(T = \frac{1}{2} m (l \dot{\theta})^2\) 势能 \(U = mgl(1 - \cos\theta)\)（以悬点为势能零点，或只取变化部分 \(-mgl\cos\theta\)，常数不影响方程）拉格朗日量 \(L = T - U = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta\)（势能项符号由定义决定，这里 \(U = -mgl\cos\theta\) 会导致正号，但通常写作 \(L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 - mgl(1-\cos\theta)\)，为简便我们用 \(L = \frac{1}{2} m l^2 \dot{\theta}^2 + mgl\cos\theta\)，因为加常数不影响）。计算：\(\frac{\partial L}{\partial \theta} = -mgl\sin\theta\)， \(\frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m l^2 \dot{\theta}\)， \(\frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} \right) = m l^2 \ddot{\theta}\)。代入拉格朗日方程： \(m l^2 \ddot{\theta} - (-mgl\sin\theta) = 0\)，即 \(m l^2 \ddot{\theta} + mgl\sin\theta = 0\)，或 \(\ddot{\theta} + \frac{g}{l} \sin\theta = 0\)。这正是单摆的运动方程。由此可见，拉格朗日方程从标量函数（能量）出发，通过一套统一的数学程序，自动导出了系统的运动方程。它特别适用于复杂约束系统、多自由度系统，并且是通向哈密顿力学和现代物理（如量子场论）的基石。