投影法 投影法是计算流体力学中求解不可压缩纳维-斯托克斯方程的一类核心算法。其核心思想是：由于不可压缩条件（速度场的散度为零）的存在，压力场的作用是作为一个拉格朗日乘子，瞬时地“投影”速度场到一个散度为零的流形上，从而保证质量守恒。 第一步：理解问题的数学核心——纳维-斯托克斯方程 对于牛顿流体的不可压缩流动，控制方程为： 动量方程：∂ u /∂t + ( u ·∇) u = -∇p + ν∇² u + f 连续性方程：∇· u = 0 其中， u 是速度矢量，p是压力（除以密度），ν是运动粘度， f 是体积力。关键在于压力p没有独立的演化方程，它必须瞬时调整以确保∇· u = 0。这正是数值求解的主要挑战：如何在每个时间步同时获得满足散度为零的速度和与之匹配的压力。 第二步：核心思想的诞生——从算子分裂到投影 投影法的基本思路源于算子分裂。考虑一个时间步从tⁿ到tⁿ⁺¹，我们暂时“解耦”速度和压力的耦合。一个最朴素的想法分两步： 先忽略压力梯度项，用其他项（对流、粘性、外力）计算出一个“中间速度” u * 。这个中间速度一般不满足不可压缩条件（∇· u * ≠ 0）。 然后，引入压力梯度项对 u 进行“修正”，得到一个散度为零的速度场 u * ⁿ⁺¹。 数学上，这相当于将速度场分解为两个部分：一个无散部分（物理上真实的不可压缩流动）和一个无旋部分（通常与压力梯度相关）。第二步“修正”过程，在数学上称为“投影”到一个散度为零的函数空间，故名“投影法”。 第三步：算法的标准流程——以经典的Chorin投影法为例 最初的显式投影法由Chorin提出，其单个时间步（从tⁿ到tⁿ⁺¹）分为两个子步： 预测步（计算中间速度） ：求解不考虑压力梯度的动量方程。 ( u * - u ⁿ)/Δt = -( u ⁿ·∇) u ⁿ + ν∇² u ⁿ + f ⁿ 这里，对流项和粘性项都用tⁿ时刻的速度 u ⁿ显式或半隐式地计算，解出中间速度 u * 。 投影步（压力修正） ： a. 假设压力梯度的作用是提供修正：( u ⁿ⁺¹ - u * )/Δt = -∇pⁿ⁺¹。 b. 对修正方程两边取散度，并要求∇· u ⁿ⁺¹ = 0，得到一个关于压力pⁿ⁺¹的泊松方程： ∇²pⁿ⁺¹ = (∇· u * ) / Δt 这个泊松方程是投影法的核心。它意味着压力场必须“吸收”掉中间速度场的散度源，从而将速度场投影到无散空间。 c. 求解这个泊松方程，得到压力场pⁿ⁺¹。 d. 将求得的压力梯度代回修正方程，更新得到最终满足散度为零的速度场： u ⁿ⁺¹ = u * - Δt ∇pⁿ⁺¹。 第四步：深入算法细节与挑战 压力边界条件 ：泊松方程∇²p = (∇· u * )/Δt需要边界条件。通常从动量方程推导出压力的诺伊曼边界条件（∂p/∂n相关于法向加速度）。不恰当的边界条件会导致压力解不唯一（只差一个常数）或误差。 分裂误差 ：由于将动量和连续性方程分裂求解，会引入时间上的分裂误差（通常为一阶）。更高级的方案（如增量压力校正法）通过多步校正来减小误差。 离散空间的兼容性 ：在网格上离散时，速度和压力的存储位置（交错网格或非交错网格）至关重要。如果布置不当，可能导致压力-速度解耦，产生非物理的压强震荡。著名的交错网格（MAC网格）正是为投影法设计的。 泊松方程求解 ：投影法的主要计算成本在于每个时间步求解一个全场椭圆型方程（压力泊松方程）。这通常需要高效的求解器（如多重网格法、FFT-based求解器）。 第五步：算法的变体与发展 增量压力校正法 ：在预测步中使用猜测的压力梯度（如pⁿ），然后在投影步中求解关于压力修正量φ的泊松方程（∇²φ = (∇· u * )/Δt），最后用φ同时更新压力和速度。这能获得更准确的压力边界条件和二阶时间精度。 压力泊松方程的其他形式 ：有时泊松方程源项写为∇·( u * /Δt)或包含更多项，取决于离散格式。 隐式处理 ：可以将粘性项（甚至对流项）隐式处理，与投影步结合，形成更稳定的算法（如SIMPLE、PISO系列算法，后者常用于非定常流）。 总结 ：投影法巧妙地将难以同步求解的不可压缩NS方程，分解为易于顺序处理的预测步（类输运方程）和投影步（椭圆型方程）。它奠定了现代CFD中大多数不可压缩流求解器的基础，其核心是 利用压力泊松方程作为约束强制执行机制，将速度场投影到物理上允许的无散空间 。理解投影法是理解从直接数值模拟到工程CFD软件内部工作原理的关键。