正则量子化 正则量子化是量子场论中将经典场论系统转化为量子系统的一种核心方法。其核心思想是将经典的场（如电磁场、物质场）类比为具有无穷多个自由度的力学系统，并对其应用量子力学中的正则对易关系。 起点：经典场论与拉格朗日密度 首先，我们从一个已知的经典场论出发，例如描述自由实标量场的克莱因-戈登理论。其动力学由 作用量 S 决定，S 是 拉格朗日密度 L 在时空中的积分。拉格朗日密度是场 φ(x, t) 及其时空导数 ∂μφ 的函数，例如 L = (1/2)(∂μφ∂^μφ - m²φ²)。通过 变分原理 （最小作用量原理），可以得到场的经典运动方程（此处即克莱因-戈登方程）。 定义正则动量 接下来，我们将时空坐标中的时间 t 特殊对待，进行“3+1”分解。将场 φ( x , t) 在固定时间 t 的构型视为广义坐标，其对应的 正则动量密度 π( x , t) 通过拉格朗日密度对场的“速度”（即时间导数 ∂φ/∂t）求偏导定义：π( x , t) = ∂L / ∂(∂φ/∂t)。这样，在每一个空间点 x 上，我们都有了一对共轭变量 (φ( x ), π( x ))，类似于质点力学中的 (q, p)。 构造哈密顿量 利用勒让德变换，可以从拉格朗日密度得到 哈密顿量密度 H：H = π(∂φ/∂t) - L。再对全空间积分，得到总 哈密顿量 H = ∫ d³x H。H 是 φ 和 π 的函数，它给出了系统的能量。至此，我们完成了经典理论的哈密顿形式表述。 施加正则对易关系（量子化的关键步骤） 这是从经典到量子的飞跃。我们将场 φ( x ) 和动量 π( x ) 提升为作用在希尔伯特空间上的 算符 （记为 ^φ 和 ^π）。然后，在 同一时刻 ，对这对共轭算符施加与量子力学中位置和动量类似的 等时正则对易关系 ： [ ^φ( x , t), ^π( y , t)] = iħ δ³( x - y ) [ ^φ( x , t), ^φ( y , t) ] = 0 [ ^π( x , t), ^π( y , t) ] = 0 这里的 δ³ 是三维狄拉克δ函数，它确保了只在同一点 ( x = y ) 的场和动量才不对易。这实现了经典泊松括号到量子对易子的替换。 场的算符展开与粒子诠释 为了求解这个量子系统，我们通常将场算符在动量空间进行傅里叶展开。例如，自由实标量场的算符展开形式为： ^φ( x ) = ∫ d³p / √[ (2π)³ 2ω_ p] [ â( p ) e^{i p·x } + â†( p ) e^{-i p·x } ] 其中 ω_ p = √( p ² + m²)。将这一展开代入哈密顿量算符，可以将其对角化为： Ĥ = ∫ d³p ω_ p [ â†( p )â( p ) + 1/2 δ³(0) ] 这里 â†( p ) 和 â( p ) 是展开系数，在量子化后也成为了算符。通过对易关系可以证明，它们满足玻色子的产生和湮灭算符的对易关系：[ â( p ), â†( q )] = δ³( p - q )。 真空态与福克空间 我们定义 真空态 |0⟩，它是被所有湮灭算符湮灭的状态：â( p )|0⟩ = 0。那么，â†( p ) 作用在真空态上，就产生了一个动量为 p 的粒子态 | p ⟩ = â†( p )|0⟩。整个系统的希尔伯特空间（称为 福克空间 ）就是由真空态、单粒子态、双粒子态等所有粒子数态张成的。哈密顿量算符的形式清楚地表明，其本征值就是所有粒子能量之和加上一个发散的零点能。至此，我们从一个经典的波动场，得到了一个描述全同粒子（玻色子）系统的量子理论。 与路径积分表述的关系 正则量子化以哈密顿量和对易关系为核心，物理图像清晰，易于与标准量子力学衔接。而你已学过的 路径积分表述 则是从完全不同的原理（对所有可能历史求和）出发，以拉格朗日量为核心。在大多数情况下，对于标量场、旋量场和规范场，这两种量子化方案是等价的，但它们在处理约束系统（如规范理论）时复杂度不同，且各自在计算特定问题（如微扰论与非微扰效应）时各有优势。