热扩散方程
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核心概念引入
热扩散方程（Heat Diffusion Equation），也称为热传导方程，是描述物体内部温度在空间与时间上如何变化的偏微分方程。它本质上是基于能量守恒定律（你已经学过）与傅里叶热传导定律（你在“热传导”词条中学过）的结合推导出来的。其核心思想是：物体内部任何一点温度的变化率，正比于该点周围流入和流出的热量净差值。 -
方程的建立与推导
考虑一个各向同性的固体，内部无热源。从傅里叶定律得知，热流密度矢量 \(\vec{q}\) 与温度梯度 \(\nabla T\) 成正比且方向相反：\(\vec{q} = -k \nabla T\)，其中 \(k\) 是材料的热导率。
在物体内取一个微小的体积元，根据能量守恒，该体积元内能的增加率等于流入其边界的热流净负值（即流入减去流出）。内能变化可表示为 \(\rho c \frac{\partial T}{\partial t}\)，其中 \(\rho\) 是密度，\(c\) 是比热容。
通过数学上的散度定理，流入边界的热流净负值等于 \(- \nabla \cdot \vec{q} = \nabla \cdot (k \nabla T)\)。
令两者相等得到：
\[ \rho c \frac{\partial T}{\partial t} = \nabla \cdot (k \nabla T) \]
如果热导率 \(k\) 是常数，则方程简化为：
\[ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T \]
其中 \(\alpha = \frac{k}{\rho c}\) 称为热扩散率，它反映了材料传播温度变化快慢的能力，\(\nabla^2\) 是拉普拉斯算子（对空间坐标的二阶偏导）。
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方程的解与物理含义
该方程是一个典型的抛物型偏微分方程。在给定初始温度分布和边界条件（如固定温度、绝热或对流条件）下，可以求解出温度场 \(T(\vec{r}, t)\)。
物理含义：方程表明，温度随时间的演变完全取决于其空间二阶导数（即曲率）。如果某点周围的平均温度高于该点温度（负曲率），则该点温度将上升；反之则下降。热扩散率 \(\alpha\) 越大，温度传播得越快，达到热平衡所需时间越短。 -
典型解示例：一维无限长杆中的热脉冲
假设初始时在原点有一个温度脉冲（δ函数分布），其余部分温度为零，则一维热扩散方程的解为：
\[ T(x, t) = \frac{Q}{\sqrt{4\pi \alpha t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4\alpha t}\right) \]
其中 \(Q\) 是与初始热量相关的常数。此解是一个高斯分布，随着时间 \(t\) 增加，温度分布会变得越来越平缓、宽阔，反映了热量从高温区向低温区的扩散过程。
- 应用与扩展
热扩散方程广泛应用于工程和自然界，如地热传导、电子器件散热、气候模拟等。若系统内部有热源（如化学反应或电加热），则方程需加入源项：
\[ \frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \nabla^2 T + \frac{\dot{q}}{\rho c} \]
其中 \(\dot{q}\) 是单位体积产热率。方程也可推广到各向异性材料或随时间变化的边界条件，求解方法包括分离变量法、格林函数法和数值模拟（如有限元法）。