卡文迪许扭秤实验

1. 背景：牛顿万有引力与“称量地球”的难题

   • 1687年，牛顿在其著作《自然哲学的数学原理》中提出了万有引力定律：任何两个有质量的物体之间都存在相互吸引的力，其大小与两者质量的乘积成正比，与它们之间距离的平方成反比。公式表示为 F = G * (m₁ * m₂) / r²。
   • 其中，G 是一个普适常数，即万有引力常数。然而，牛顿本人并未能测量出这个常数G的数值。这是因为引力在常见物体间极其微弱，难以在实验室中直接精确测量。
   • 因此，虽然定律描述了力的大小“比例关系”，但由于常数G未知，无法直接用公式计算具体引力值。一个著名的应用是：如果知道G，就可以通过测量地球对地表物体（已知质量）的引力（即物体的重力），反过来计算出地球的质量。这就是“称量地球”的构想。

2. 实验设计与核心思想：放大微弱的引力

   • 1797-1798年，英国科学家亨利·卡文迪许设计并完成了一项极其精巧的实验，首次在实验室中测量了物体间的微弱引力，从而得到了G值和地球质量。
   • 实验的核心装置是“扭秤”，这实际上是一种极其灵敏的测力计。其核心是一根很细的石英丝（或金属丝），下端悬挂一根轻而坚硬的水平T型杆，杆的两端各固定一个质量相同的小铅球。整个系统悬挂在密闭容器内。
   • 工作原理：当有微小的力矩作用在T型杆上，会使石英丝发生极其微小的扭转。石英丝本身具有“扭转回复力”（类似钟表的游丝），其扭转的角度与所受的力矩成正比。通过测量扭转角度，就能推算出施加的力矩大小。
   • 如何引入引力：在密闭容器的外部，对称地放置两个质量巨大的大铅球，靠近但未接触小铅球。大铅球会通过万有引力吸引小铅球，从而对T型杆产生一个使石英丝扭转的力矩。

3. 实验过程与“光杠杆”放大技术

   • 这是实验中最精妙的部分。由于引力引起的扭转角度小到肉眼根本无法直接观测（通常小于1度甚至更小），卡文迪许使用了一种名为“光杠杆”的光学放大方法。
   • 他在石英丝上固定一面小镜子。用一束光线照射这面小镜子，光线被反射后，在远处的刻度尺上形成一个光斑。
   • 当石英丝发生微小的扭转时，小镜子的角度也会随之改变。根据光的反射定律，镜子转动一个微小角度θ，反射光线的方向会改变2θ。这个变化被长距离的“光路”进一步放大，使得远处刻度尺上光斑的移动距离（比如几厘米）可以清晰测量。这个移动距离就对应了石英丝极其微小的扭转角度。这种方法将角度的测量精度提高了几个数量级。

4. 测量、计算与结果

   • 实验时，先将大铅球置于位置A，使其引力吸引小铅球，系统扭转并最终静止。记录此时光斑在刻度尺上的位置。
   • 然后，将大铅球移动到对称的位置B，引力方向相反，系统会向反方向扭转并再次静止。记录新位置。
   • 光斑在两个静止位置之间的总偏移距离，对应了石英丝在大小相等、方向相反的力矩作用下，总扭转角度的两倍。由此可以精确计算出单个力矩的大小。
   • 已知力矩大小、铅球质量、铅球间距离、石英丝的扭转系数（可通过测量系统自由振荡周期独立测得），代入万有引力公式，就能解出那个关键的常数G。
   • 卡文迪许的结果：他计算出的G值约为 6.754 × 10⁻¹¹ N·m²/kg²（与现代值 6.67430 × 10⁻¹¹ N·m²/kg² 非常接近）。随后，他利用当时已知的地球半径和地表重力加速度，首次“称量”出了地球的质量，约为 6.0 × 10²⁴ 千克。

5. 历史意义与影响

   • 第一个成功测量：卡文迪许实验是人类历史上首次在实验室中成功测量了万有引力，用确凿的实验数据验证了牛顿万有引力定律的普适性，并赋予了其定量的计算能力。
   • “称量地球”：它使得地球、太阳乃至天体的质量可以通过测量和计算得到，从神秘的“天体”变成了可以量化的物理对象，是天体物理学和精密测量学的里程碑。
   • 精密实验的典范：该实验设计思想（扭秤、光杠杆放大、对称测量法消除误差）堪称经典物理实验设计的巅峰，其原理至今仍被用于测量极其微小的力，例如在验证库仑定律或测量引力常数G的最新实验中。
   • 常数G的意义：万有引力常数G是物理学中最基本的常数之一，与光速c、普朗克常数h等同等重要。其精确测量对理解引力本质、宇宙学、地球物理学等领域都至关重要。因其测量难度极大，它也是目前测量精度最差的基本物理常数。