热力学概率
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基本定义：热力学概率（通常用符号 \(\Omega\) 表示）指一个宏观热力学状态所对应的微观状态的数量。在统计力学中，一个宏观状态（如给定系统的温度、体积、压强）可以通过许多不同的微观状态来实现。微观状态指系统中所有粒子具体的位置、速度、量子态等详细信息。热力学概率 \(\Omega\) 即是为实现同一宏观状态的所有可能的微观状态总数，它是一个非常大的整数。
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与熵的联系：热力学概率是理解熵的统计意义的核心。玻尔兹曼提出了著名的关系式 \(S = k \ln \Omega\)，其中 \(S\) 为系统的熵，\(k\) 是玻尔兹曼常数。此式表明，熵是系统微观状态数目的对数度量：微观状态越多，系统无序度越高，熵就越大。例如，气体自由膨胀后分布更均匀，对应的微观状态数急剧增加，因此熵增加。
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计算方法（简单例子）：对于简单的系统，可以通过组合数学计算 \(\Omega\)。例如，考虑由 \(N\) 个全同粒子组成的系统，假设每个粒子只能处于两个等概率的量子态（如自旋向上或向下），且粒子间相互作用可忽略。若宏观状态为有 \(n\) 个粒子处于向上态，则热力学概率为组合数 \(\Omega = \frac{N!}{n!(N-n)!}\)。当 \(n = N/2\) 时，\(\Omega\) 最大，对应熵最大，即平衡态。
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平衡态的意义：根据统计力学基本假设，孤立系统处于平衡态时，所有可能的微观状态出现概率相等。因此，系统实际观测到的宏观状态是热力学概率最大的状态（即最概然分布）。热力学第二定律指出熵增加，从统计角度即系统自发向 \(\Omega\) 更大的宏观状态演化，因为这种状态包含的微观状态更多，出现的可能性极高。
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涨落与概率：尽管平衡态对应 \(\Omega\) 最大，但系统仍可能因为涨落暂时偏离平衡，此时对应的微观状态数较少，概率极低。热力学概率定量给出了这种涨落的可能性大小。例如，对上述粒子系统，若全部粒子偶然都处于向上态（\(n = N\)），则 \(\Omega = 1\)，概率极小（约为 \(2^{-N}\)），几乎不可能被观测到。