转动动能
字数 1172 2025-12-15 09:41:45

转动动能

  1. 我们先从你已经熟悉的平动动能开始。在经典力学中，一个质量为 \(m\)、以速度 \(v\) 平动的质点，其动能为 \(K = \frac{1}{2} m v^2\)。这个能量对应着物体整体运动所具有的能量。

  2. 现在考虑一个刚体（已讲过的概念，它内部任意两点距离保持不变）。刚体的一般运动可以分解为质心的平动和整个刚体绕通过质心的轴的转动。根据柯尼希定理（可视为功与动能定理的延伸），刚体的总动能等于质心平动能加上刚体相对于质心参考系转动的动能。我们今天聚焦于后面这部分——纯转动时的动能。

  3. 想象刚体绕一个固定轴（例如 \(z\) 轴）以角速度 \(\omega\) 匀速转动。刚体可以看作由无数个质点组成。其中第 \(i\) 个质点的质量为 \(m_i\)，到转轴的垂直距离（即转动半径）为 \(r_i\)。当刚体转动时，这个质点的线速度大小为 \(v_i = \omega r_i\)。

  4. 那么这个质点的动能为 \(\frac{1}{2} m_i v_i^2 = \frac{1}{2} m_i (\omega r_i)^2 = \frac{1}{2} (m_i r_i^2) \omega^2\)。注意，这里 \(m_i r_i^2\) 正是这个质点对该转轴的转动惯量 \(I_i\) 的贡献。

  5. 整个刚体的转动动能，就是所有这样的质点动能之和：

\[K_{\text{rot}} = \sum_i \frac{1}{2} m_i r_i^2 \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \sum_i m_i r_i^2 \right) \omega^2 \]

括号内的求和 \(\sum_i m_i r_i^2\) 正是刚体对该固定轴的转动惯量 \(I\)（已讲过的概念）。

  1. 因此，我们得到转动动能的公式：

\[K_{\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2 \]

它与平动动能公式 \(K = \frac{1}{2} m v^2\) 在形式上一一对应：转动惯量 \(I\) 对应质量 \(m\)，角速度 \(\omega\) 对应线速度 \(v\)。

  1. 这个公式适用于刚体绕固定轴的转动。如果是绕质心的转动，这就是柯尼希定理中的那部分转动动能。即使转轴不是固定的（例如无滑滚动），只要用瞬时转轴和绕该轴的转动惯量，此公式仍然成立（但需注意 \(I\) 必须是相对于瞬时转轴的）。

  2. 转动动能是标量，且恒为正值（因为 \(I>0, \omega^2 \ge 0\)）。它与力矩做功密切相关：合外力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量（这称为转动动能定理，可由转动定律和功的定义推导出来）。

转动动能 我们先从你已经熟悉的 平动动能 开始。在经典力学中，一个质量为 \(m\)、以速度 \(v\) 平动的质点，其动能为 \(K = \frac{1}{2} m v^2\)。这个能量对应着物体整体运动所具有的能量。 现在考虑一个 刚体 （已讲过的概念，它内部任意两点距离保持不变）。刚体的一般运动可以分解为 质心 的平动和整个刚体绕通过质心的轴的转动。根据 柯尼希定理 （可视为 功与动能定理 的延伸），刚体的总动能等于质心平动能加上刚体相对于质心参考系转动的动能。我们今天聚焦于后面这部分——纯转动时的动能。 想象刚体绕一个固定轴（例如 \(z\) 轴）以角速度 \(\omega\) 匀速转动。刚体可以看作由无数个质点组成。其中第 \(i\) 个质点的质量为 \(m_ i\)，到转轴的垂直距离（即转动半径）为 \(r_ i\)。当刚体转动时，这个质点的线速度大小为 \(v_ i = \omega r_ i\)。 那么这个质点的动能为 \(\frac{1}{2} m_ i v_ i^2 = \frac{1}{2} m_ i (\omega r_ i)^2 = \frac{1}{2} (m_ i r_ i^2) \omega^2\)。注意，这里 \(m_ i r_ i^2\) 正是这个质点对该转轴的 转动惯量 \(I_ i\) 的贡献。 整个刚体的转动动能，就是所有这样的质点动能之和： \[ K_ {\text{rot}} = \sum_ i \frac{1}{2} m_ i r_ i^2 \omega^2 = \frac{1}{2} \left( \sum_ i m_ i r_ i^2 \right) \omega^2 \] 括号内的求和 \(\sum_ i m_ i r_ i^2\) 正是刚体对该固定轴的 转动惯量 \(I\)（已讲过的概念）。 因此，我们得到 转动动能 的公式： \[ K_ {\text{rot}} = \frac{1}{2} I \omega^2 \] 它与平动动能公式 \(K = \frac{1}{2} m v^2\) 在形式上一一对应：转动惯量 \(I\) 对应质量 \(m\)，角速度 \(\omega\) 对应线速度 \(v\)。 这个公式适用于刚体绕 固定轴 的转动。如果是绕 质心 的转动，这就是柯尼希定理中的那部分转动动能。即使转轴不是固定的（例如无滑滚动），只要用瞬时转轴和绕该轴的转动惯量，此公式仍然成立（但需注意 \(I\) 必须是相对于瞬时转轴的）。 转动动能是标量，且恒为正值（因为 \(I>0, \omega^2 \ge 0\)）。它与力矩做功密切相关：合外力矩对刚体所做的功，等于刚体转动动能的增量（这称为 转动动能定理 ，可由转动定律和功的定义推导出来）。