磁能

字数 1931 2025-12-15 09:26:02

磁能

磁能是指储存在磁场中的能量。理解磁能需要从磁场对电流做功的基本概念出发，逐步深入到能量密度的一般表达式。

建立磁场需要做功
考虑一个由N个独立电流回路（或线圈）构成的系统。当我们要建立或改变系统中的磁场时，就必须改变各回路中的电流。根据法拉第电磁感应定律，一个回路中电流的变化，会在自身和其它回路中产生感应电动势。为了克服这个感应电动势以维持电流的变化，外接电源就必须做功。电源所做的这部分功，就转化为系统的磁能储存起来。
单个载流回路的磁能
我们从最简单的情况开始：一个自感为L的孤立线圈。设其电流从0增加到稳定值I。在增长过程中，电流i是时间t的函数，线圈中的自感电动势为 ε_L = -L(di/dt)。电源为克服此电动势所做的元功为：
dW = -ε_L * i dt = L i di
因此，电流从0增长到I的总功，即储存在线圈磁场中的能量为：
W_m = ∫ dW = ∫_0^I L i di = (1/2) L I^2
这就是单个载流回路的磁能公式。它表明，磁能依赖于回路的自身性质（自感L）和最终的电流状态（I）。
两个载流回路的互感磁能
现在考虑两个线圈（电感分别为L1, L2，互感为M），电流分别为I1, I2。建立磁场的过程可以设想为分两步：
- 第一步：先让线圈1的电流从0增加到I1，而线圈2电流保持为0。此过程电源做功为 W1 = (1/2) L1 I1^2。
- 第二步：保持I1不变，让线圈2的电流从0增加到I2。此过程需要克服两个电动势：
  - 克服线圈2自身的自感电动势，做功 W2' = (1/2) L2 I2^2。
  - 克服由于I2的变化在线圈1中产生的互感电动势。此互感电动势为 ε_12 = -M (dI2/dt)，要保持I1不变，电源1需额外做功来抵消它，其元功为 dW_12 = -ε_12 * I1 dt = M I1 dI2。积分得 W_12 = M I1 I2。
    同时，在第二步中，I1的磁场也会对增长中的I2产生互感电动势，但电源2克服此电动势所做的功已经包含在W2'的计算逻辑中（即维持I2增长的总功）。
    因此，系统的总磁能为三步功之和：
    W_m = (1/2)L1 I1^2 + (1/2)L2 I2^2 + M I1 I2
    注意，M I1 I2 这项可正可负，取决于两个电流产生的磁场是相互加强（M>0）还是相互削弱（M<0）。
N个回路系统的磁能普遍公式
将两个回路的结果推广，对于由N个载流回路（电流为I_k）组成的系统，其总磁能为：
W_m = (1/2) Σ_{k=1}^{N} L_k I_k^2 + (1/2) Σ_{k≠j} M_{kj} I_k I_j = (1/2) Σ_{k=1}^{N} Σ_{j=1}^{N} M_{kj} I_k I_j
这里M_{kk}即为自感L_k，M_{kj}=M_{jk}为互感。这个双重求和公式清晰地表明，磁能储存在整个磁场空间中，是各回路电流及其相互作用共同贡献的。
用磁场矢量表示的磁能密度
上述公式依赖于具体的电流回路，不够局域化。我们希望用场量B和H来描述磁能。可以利用磁矢势A（B = ∇ × A）与电流分布的关系进行推导。对于体电流分布J(r)，磁能的积分表达式可转化为：
W_m = (1/2) ∫V J · A dV
这里积分遍及所有存在电流的区域V。这是用场源（J）和场（A）表示磁能的一个重要公式。
进一步，利用麦克斯韦方程组中的安培环路定律（∇ × H = J，暂不考虑位移电流），并经过矢量分析运算（使用公式 ∇·(A × H) = H·(∇×A) - A·(∇×H) 及散度定理），可以将其完全用磁场表示：
W_m = (1/2) ∫{整个空间} B · H dV
这个积分对全空间成立。它引导我们定义磁能密度w_m：
w_m = (1/2) B · H
对于线性、各向同性的磁介质，其中B = μH，μ为磁导率，则磁能密度可简化为：
w_m = (1/2) B·H = (1/(2μ)) B^2 = (μ/2) H^2
因此，空间某点磁场的强弱直接决定了该点储存磁能的多少。总磁能等于磁能密度在整个空间的积分：W_m = ∫_{全空间} w_m dV。

总结：磁能是建立磁场过程中外界所做的功转化而来的能量，它定域在磁场中。其描述可以从分立回路的 (1/2)LI^2 形式，发展到连续分布的 (1/2)∫ J·A dV 形式，最终落实到由磁场本身决定的能量密度形式 (1/2)B·H，揭示了磁能的载体是磁场本身。

磁能磁能是指储存在磁场中的能量。理解磁能需要从磁场对电流做功的基本概念出发，逐步深入到能量密度的一般表达式。建立磁场需要做功考虑一个由N个独立电流回路（或线圈）构成的系统。当我们要建立或改变系统中的磁场时，就必须改变各回路中的电流。根据法拉第电磁感应定律，一个回路中电流的变化，会在自身和其它回路中产生感应电动势。为了克服这个感应电动势以维持电流的变化，外接电源就必须做功。电源所做的这部分功，就转化为系统的磁能储存起来。单个载流回路的磁能我们从最简单的情况开始：一个自感为L的孤立线圈。设其电流从0增加到稳定值I。在增长过程中，电流i是时间t的函数，线圈中的自感电动势为 ε_ L = -L(di/dt)。电源为克服此电动势所做的元功为： dW = -ε_ L * i dt = L i di 因此，电流从0增长到I的总功，即储存在线圈磁场中的能量为： W_ m = ∫ dW = ∫_ 0^I L i di = (1/2) L I^2 这就是单个载流回路的磁能公式。它表明，磁能依赖于回路的自身性质（自感L）和最终的电流状态（I）。两个载流回路的互感磁能现在考虑两个线圈（电感分别为L1, L2，互感为M），电流分别为I1, I2。建立磁场的过程可以设想为分两步：第一步：先让线圈1的电流从0增加到I1，而线圈2电流保持为0。此过程电源做功为 W1 = (1/2) L1 I1^2。第二步：保持I1不变，让线圈2的电流从0增加到I2。此过程需要克服两个电动势：克服线圈2自身的自感电动势，做功 W2' = (1/2) L2 I2^2。克服由于I2的变化在线圈1中产生的互感电动势。此互感电动势为 ε_ 12 = -M (dI2/dt)，要保持I1不变，电源1需额外做功来抵消它，其元功为 dW_ 12 = -ε_ 12 * I1 dt = M I1 dI2。积分得 W_ 12 = M I1 I2。同时，在第二步中，I1的磁场也会对增长中的I2产生互感电动势，但电源2克服此电动势所做的功已经包含在W2'的计算逻辑中（即维持I2增长的总功）。因此，系统的总磁能为三步功之和： W_ m = (1/2)L1 I1^2 + (1/2)L2 I2^2 + M I1 I2 注意，M I1 I2 这项可正可负，取决于两个电流产生的磁场是相互加强（M>0）还是相互削弱（M <0）。 N个回路系统的磁能普遍公式将两个回路的结果推广，对于由N个载流回路（电流为I_ k）组成的系统，其总磁能为： W_ m = (1/2) Σ_ {k=1}^{N} L_ k I_ k^2 + (1/2) Σ_ {k≠j} M_ {kj} I_ k I_ j = (1/2) Σ_ {k=1}^{N} Σ_ {j=1}^{N} M_ {kj} I_ k I_ j 这里M_ {kk}即为自感L_ k，M_ {kj}=M_ {jk}为互感。这个双重求和公式清晰地表明，磁能储存在整个磁场空间中，是各回路电流及其相互作用共同贡献的。用磁场矢量表示的磁能密度上述公式依赖于具体的电流回路，不够局域化。我们希望用场量B和H来描述磁能。可以利用磁矢势A （B = ∇ × A）与电流分布的关系进行推导。对于体电流分布J(r)，磁能的积分表达式可转化为： W_ m = (1/2) ∫ V J · A dV 这里积分遍及所有存在电流的区域V。这是用场源（J）和场（A）表示磁能的一个重要公式。进一步，利用麦克斯韦方程组中的安培环路定律（∇ × H = J，暂不考虑位移电流），并经过矢量分析运算（使用公式 ∇·(A × H) = H·(∇×A) - A·(∇×H) 及散度定理），可以将其完全用磁场表示： W_ m = (1/2) ∫ {整个空间} B · H dV 这个积分对全空间成立。它引导我们定义磁能密度w_ m ： w_ m = (1/2) B · H 对于线性、各向同性的磁介质，其中B = μH，μ为磁导率，则磁能密度可简化为： w_ m = (1/2) B·H = (1/(2μ)) B^2 = (μ/2) H^2 因此，空间某点磁场的强弱直接决定了该点储存磁能的多少。总磁能等于磁能密度在整个空间的积分：W_ m = ∫_ {全空间} w_ m dV。总结：磁能是建立磁场过程中外界所做的功转化而来的能量，它定域在磁场中。其描述可以从分立回路的 (1/2)LI^2 形式，发展到连续分布的 (1/2)∫ J·A dV 形式，最终落实到由磁场本身决定的能量密度形式 (1/2)B·H，揭示了磁能的载体是磁场本身。