海森堡模型 基本概念与背景 海森堡模型是描述磁性系统中局域磁矩（自旋）之间相互作用的量子力学模型，由维尔纳·海森堡于1928年提出，用于解释铁磁性的微观起源。模型的核心思想是：相邻原子中的电子自旋之间存在交换相互作用，这种量子效应源自电子波函数的交换对称性（泡利不相容原理）与库仑斥力的结合，导致自旋排列呈现能量差异。 模型哈密顿量 最常用的海森堡模型哈密顿量为： \[ H = -J \sum_ {\langle i,j \rangle} \mathbf{S}_ i \cdot \mathbf{S}_ j \] 其中 \(\mathbf{S}_ i\) 和 \(\mathbf{S}_ j\) 是位于格点 \(i\) 和 \(j\) 的自旋算符，\(\langle i,j \rangle\) 表示对最近邻自旋对求和。参数 \(J\) 称为交换积分： 若 \(J > 0\)，模型描述铁磁相互作用，能量最低态为自旋平行排列； 若 \(J < 0\)，模型描述反铁磁相互作用，能量最低态为自旋反平行排列（需考虑晶格结构）。 相互作用的物理来源 交换相互作用并非经典磁偶极作用（后者太弱），而是源自电子云重叠的量子效应。以氢分子为例：两个氢原子靠近时，电子波函数交叠导致体系能量与两个电子自旋的相对取向相关。海森堡通过海特勒-伦敦方法推导出自旋关联能，最终简化为 \(\mathbf{S}_ 1 \cdot \mathbf{S}_ 2\) 的形式。在固体中，类似机制通过超交换（如通过中间氧离子）或直接交换实现。 基态与激发态 铁磁情况（J>0） ：基态是所有自旋同向的直积态（如全部向上）。激发态称为自旋波（磁振子），即自旋在空间中传播的集体进动，能量随波矢连续变化。 反铁磁情况（J<0） ：基态通常不是简单直积态（奈尔态仅为近似）。例如在一维链中，基态是自旋单态纠缠态（通过贝特拟设严格解）；在二维方格中，基态可能存在长程反铁磁序。激发态包括反铁磁自旋波，其能谱在布里渊区边界出现能隙（取决于各向异性）。 扩展与变体 实际材料中常需扩展模型： 各向异性项 ：如 \(J_ z S_ i^z S_ j^z + J_ {xy} (S_ i^x S_ j^x + S_ i^y S_ j^y)\)，描述自旋空间各向异性。 外磁场项 ：\(-g\mu_ B \mathbf{B} \cdot \sum_ i \mathbf{S}_ i\)。 次近邻相互作用 ：影响序的稳定性与挫败。 哈伯德模型关联 ：在强排斥极限下，半满哈伯德模型可映射为反铁磁海森堡模型。 与已讲词条的关联 区别于 伊辛模型 （仅考虑自旋z分量），海森堡模型包含自旋全体分量，具有连续对称性（SU(2)），支持自旋波激发。 反铁磁体 的微观描述常基于海森堡模型（J <0）。 低维系统（如一维链）的严格解揭示了 自旋液体 等奇异态，与 拓扑绝缘体 中的拓扑序有概念联系。