简谐振动

字数 1568 2025-12-15 07:40:59

简谐振动

基本定义：一个物理系统在受到大小与相对于平衡位置的位移成正比，而方向始终指向平衡位置的回复力作用时，所进行的周期性往复运动，称为简谐振动。这是振动中最简单、最基本的形式。
动力学方程：根据定义，回复力可表示为 \(F = -kx\)，其中 \(k\) 为正常数（如弹簧的劲度系数），\(x\) 为相对于平衡位置的位移，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律 \(F = ma\)，可得 \(m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx\)。整理后得到简谐振动的微分方程：

\[\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \]

其中 \(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\) 称为振动的角频率，单位为弧度每秒 (rad/s)。

运动学解：上述微分方程的解描述了位移随时间的变化规律，其一般形式为：

\[x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \]

或者等价的正弦函数形式。式中：

\(A\) 是振幅，即最大位移的绝对值。
\(\omega t + \varphi\) 称为相位，决定了系统在周期中的具体状态。
\(\varphi\) 是初相位，由初始条件（初始位移和速度）决定。
这个解表明位移是时间的余弦（或正弦）函数，运动是周期性的。

速度与加速度：通过对位移函数求导，可以得到速度和加速度的表达式：
- 速度：\(v(t) = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \varphi)\)
- 加速度：\(a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x(t)\)
  可见加速度与位移成正比且反向，这是简谐振动的核心运动学特征。
周期与频率：完成一次完整振动所需的时间称为周期 \(T\)，它与角频率的关系为 \(T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)。单位时间内完成振动的次数称为频率 \(f\)，\(f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}\)。周期和频率仅由系统本身的属性（质量 \(m\) 和劲度系数 \(k\) ）决定，与振幅无关，这一特性称为等时性。
能量分析：简谐振动系统的能量由动能和势能组成。以弹簧振子为例，势能（弹性势能）为 \(U = \frac{1}{2}kx^2\)，动能为 \(K = \frac{1}{2}mv^2\)。将位移和速度表达式代入，可得：
- 总机械能：\(E = K + U = \frac{1}{2}kA^2\)
  这表明在振动过程中，动能和势能相互转化，但总和保持恒定，是一个守恒系统。动能和势能的时间平均值相等，均等于总能量的一半。
常见实例与扩展：
- 弹簧振子：一个质量为 \(m\) 的物体系于劲度系数为 \(k\) 的轻弹簧一端，在光滑水平面上运动，是最直接的实例。
- 单摆的小角度摆动：在摆角很小（通常<5°）时，回复力分量与角位移成正比，单摆的运动可近似为简谐振动，其角频率 \(\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}\)，其中 \(l\) 为摆长，\(g\) 为重力加速度。
- 物理摆（复摆）：对于绕固定轴摆动的刚体，在小角度近似下也作简谐振动。
- 简谐振动的合成：多个同方向、同频率简谐振动的合成仍是同频率的简谐振动；不同频率的合成可能产生“拍”的现象。方向垂直的两个简谐振动的合成则可能形成李萨如图形。

简谐振动基本定义：一个物理系统在受到大小与相对于平衡位置的位移成正比，而方向始终指向平衡位置的回复力作用时，所进行的周期性往复运动，称为简谐振动。这是振动中最简单、最基本的形式。动力学方程：根据定义，回复力可表示为 \( F = -kx \)，其中 \( k \) 为正常数（如弹簧的劲度系数），\( x \) 为相对于平衡位置的位移，负号表示力与位移方向相反。根据牛顿第二定律 \( F = ma \)，可得 \( m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx \)。整理后得到简谐振动的微分方程： \[ \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0 \] 其中 \( \omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \) 称为振动的角频率，单位为弧度每秒 (rad/s)。运动学解：上述微分方程的解描述了位移随时间的变化规律，其一般形式为： \[ x(t) = A \cos(\omega t + \varphi) \] 或者等价的正弦函数形式。式中： \( A \) 是振幅，即最大位移的绝对值。 \( \omega t + \varphi \) 称为相位，决定了系统在周期中的具体状态。 \( \varphi \) 是初相位，由初始条件（初始位移和速度）决定。这个解表明位移是时间的余弦（或正弦）函数，运动是周期性的。速度与加速度：通过对位移函数求导，可以得到速度和加速度的表达式：速度：\( v(t) = \frac{dx}{dt} = -\omega A \sin(\omega t + \varphi) \) 加速度：\( a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -\omega^2 A \cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x(t) \) 可见加速度与位移成正比且反向，这是简谐振动的核心运动学特征。周期与频率：完成一次完整振动所需的时间称为周期 \( T \)，它与角频率的关系为 \( T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \)。单位时间内完成振动的次数称为频率 \( f \)，\( f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi} \)。周期和频率仅由系统本身的属性（质量 \( m \) 和劲度系数 \( k \) ）决定，与振幅无关，这一特性称为等时性。能量分析：简谐振动系统的能量由动能和势能组成。以弹簧振子为例，势能（弹性势能）为 \( U = \frac{1}{2}kx^2 \)，动能为 \( K = \frac{1}{2}mv^2 \)。将位移和速度表达式代入，可得：总机械能：\( E = K + U = \frac{1}{2}kA^2 \) 这表明在振动过程中，动能和势能相互转化，但总和保持恒定，是一个守恒系统。动能和势能的时间平均值相等，均等于总能量的一半。常见实例与扩展：弹簧振子：一个质量为 \( m \) 的物体系于劲度系数为 \( k \) 的轻弹簧一端，在光滑水平面上运动，是最直接的实例。单摆的小角度摆动：在摆角很小（通常 <5°）时，回复力分量与角位移成正比，单摆的运动可近似为简谐振动，其角频率 \( \omega = \sqrt{\frac{g}{l}} \)，其中 \( l \) 为摆长，\( g \) 为重力加速度。物理摆（复摆）：对于绕固定轴摆动的刚体，在小角度近似下也作简谐振动。简谐振动的合成：多个同方向、同频率简谐振动的合成仍是同频率的简谐振动；不同频率的合成可能产生“拍”的现象。方向垂直的两个简谐振动的合成则可能形成李萨如图形。