变分法 (Variational Method) 第一步：变分法的核心思想与基本概念 变分法是一种数学工具，用于寻找使泛函取极值的函数。其核心思想是将物理问题转化为求泛函极值的问题。 泛函 ：不同于函数（输入是数，输出是数），泛函的输入是函数，输出是实数。例如，函数 \( y(x) \) 的弧长泛函为 \( J[ y] = \int_ {a}^{b} \sqrt{1 + (y')^2} \, dx \)。 变分 ：类似于微积分中的微分，变分是泛函的无穷小变化量，记作 \( \delta J \)。若泛函 \( J[ y] \) 在函数 \( y_ 0(x) \) 处取极值，则变分 \( \delta J = 0 \)。 第二步：欧拉-拉格朗日方程的推导 对于最简泛函 \( J[ y] = \int_ {a}^{b} F(x, y, y') \, dx \)，其中 \( y(a) = A \), \( y(b) = B \) 固定。若 \( y(x) \) 使泛函取极值，其必须满足欧拉-拉格朗日方程： \[ \frac{\partial F}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial F}{\partial y'} \right) = 0 \] 推导过程： 假设 \( y(x) = y_ 0(x) + \epsilon \eta(x) \)，其中 \( \eta(a) = \eta(b) = 0 \)，\( \epsilon \) 为小参数。 代入泛函得 \( J(\epsilon) = \int_ {a}^{b} F(x, y_ 0 + \epsilon \eta, y_ 0' + \epsilon \eta') \, dx \)。 对 \( \epsilon \) 求导，利用极值条件 \( \frac{dJ}{d\epsilon}\big| {\epsilon=0} = 0 \)： \[ \int {a}^{b} \left( \frac{\partial F}{\partial y} \eta + \frac{\partial F}{\partial y'} \eta' \right) dx = 0 \] 对第二项分部积分，结合边界条件得到欧拉-拉格朗日方程。 第三步：物理问题中的变分原理实例 变分法在物理中对应最小作用量原理。例如： 经典力学 ：拉格朗日量 \( L = T - V \)，作用量泛函 \( S[ q] = \int_ {t_ 1}^{t_ 2} L(q, \dot{q}, t) \, dt \)。欧拉-拉格朗日方程即成为拉格朗日方程： \[ \frac{\partial L}{\partial q} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) = 0 \] 电磁学 ：麦克斯韦方程可从拉格朗日密度泛函导出。 量子力学 ：变分法用于估计基态能量，如选取试探波函数 \( \psi(\alpha) \)，通过最小化 \( E[ \psi ] = \frac{\langle \psi | H | \psi \rangle}{\langle \psi | \psi \rangle} \) 获得近似解。 第四步：数值应用——里兹法 (Ritz Method) 将变分问题离散化求解，是有限元方法的基础。步骤： 选取一组基函数 \( \{\phi_ i(x)\} \)（如多项式或三角函数）。 将试探函数表示为 \( y_ n(x) = \sum_ {i=1}^n c_ i \phi_ i(x) \)。 代入泛函 \( J[ y_ n] \)，将其转化为多元函数 \( J(c_ 1, \dots, c_ n) \)。 通过解方程组 \( \frac{\partial J}{\partial c_ i} = 0 \) 确定系数 \( c_ i \)，得到近似解。 第五步：扩展与注意事项 约束问题 ：若泛函带约束（如等周问题），需引入拉格朗日乘子。 高维问题 ：泛函可能依赖多变量函数（如 \( u(x,y) \) ），欧拉-拉格朗日方程推广为偏微分方程。 收敛性 ：里兹法要求基函数完备，且近似解随 \( n \) 增大收敛到真实解。 变分法通过“泛函极值”统一描述物理规律，并为数值计算提供了通过优化逼近解的途径。