有效作用量
有效作用量是量子场论中一个核心概念，它以一种紧凑而物理的方式包含了量子理论的所有信息。
-
背景：生成泛函与关联函数。首先回顾量子场论的核心对象是生成泛函 \(Z[J]\)，它是场源 \(J(x)\) 的泛函。对 \(Z[J]\) 关于源 \(J\) 求泛函导数，可以得到所有时空点的场算符的关联函数（即格林函数）。这些关联函数编码了理论的全部可观测信息，如散射振幅。然而，直接处理包含所有高阶关联函数的 \(Z[J]\) 非常复杂。
-
引入：连边生成泛函。为了简化，我们引入连边生成泛函 \(W[J]\)，定义为 \(Z[J] = e^{iW[J]}\)。\(W[J]\) 在统计物理中对应自由能。关键特性在于，对 \(W[J]\) 求关于源 \(J\) 的一阶泛函导数，给出的是场的真空期望值（在源存在的情况下），记作 \(\phi_{\text{cl}}(x) = \langle \Omega | \hat{\phi}(x) | \Omega \rangle_J / \langle \Omega | \Omega \rangle_J\)。这里 \(\phi_{\text{cl}}\) 是一个经典的 \(c\)-数场，依赖于源 \(J\)。
-
勒让德变换与有效作用量的定义。接下来我们进行一个勒让德变换，将自变量从源 \(J\) 变换为经典场 \(\phi_{\text{cl}}\)。这个变换的结果就是有效作用量 \(\Gamma[\phi_{\text{cl}}]\)，其定义式为：
\[ \Gamma[\phi_{\text{cl}}] = W[J] - \int d^4x \, J(x) \phi_{\text{cl}}(x) \]
其中，右边的 $ J $ 需要通过关系式 $ \phi_{\text{cl}} = \delta W / \delta J $ 理解为 $ \phi_{\text{cl}} $ 的函数。这个过程在结构上完全类似于经典力学中从拉格朗日量到哈密顿量的变换。
- 核心性质：量子运动方程。有效作用量 \(\Gamma[\phi_{\text{cl}}]\) 满足一个极其重要的方程：
\[ \frac{\delta \Gamma[\phi_{\text{cl}}]}{\delta \phi_{\text{cl}}(x)} = -J(x) \]
当外源 $ J = 0 $ 时，方程简化为 $ \delta \Gamma / \delta \phi_{\text{cl}} = 0 $。**这正是量子修正后的场的经典运动方程**。$ \phi_{\text{cl}} $ 取常数时的解，对应了量子理论的真实真空（基态）。
-
物理内涵：量子修正后的“经典”理论。这是理解有效作用量的关键点。一个原始（裸）的经典作用量 \(S[\phi]\) 经过路径积分量子化后，所有量子涨落（包括虚粒子的产生湮灭）的效应被“整合”或“有效化”进了 \(\Gamma[\phi_{\text{cl}}]\) 中。因此，\(\Gamma[\phi_{\text{cl}}]\) 可以被视作一个“量子有效理论”的经典作用量，用它通过经典原理（最小作用量原理）计算出的 \(\phi_{\text{cl}}\) 的动力学，已经自动包含了所有的量子效应。
-
展开与顶点函数。有效作用量可以按场 \(\phi_{\text{cl}}\) 的泛函展开：
\[ \Gamma[\phi_{\text{cl}}] = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \int d^4x_1 \dots d^4x_n \, \phi_{\text{cl}}(x_1) \dots \phi_{\text{cl}}(x_n) \, \Gamma^{(n)}(x_1, \dots, x_n) \]
系数 $ \Gamma^{(n)} $ 称为**单粒子不可约顶点函数**。它们是**费曼图**表述中，所有去掉外腿后依然连通的费曼图（即“单粒子不可约图”）之和。这些顶点函数直接给出理论中精确的（非微扰的）相互作用顶点。
- 应用示例：有效势。在恒定场 \(\phi_{\text{cl}} = \phi_0\) 的情况下，有效作用量简化为 \(\Gamma = -\int d^4x \, V_{\text{eff}}(\phi_0)\)，其中 \(V_{\text{eff}}(\phi_0)\) 称为有效势。有效势的最小值决定了量子理论的真空期望值和对称性自发破缺的模式。计算有效势是研究希格斯机制、相变等非微扰现象的有力工具。