关联函数

字数 2213 2025-12-15 05:25:11

关联函数

关联函数是量子场论中用于描述场在不同时空点之间统计关联的核心数学对象。它量化了场的涨落如何相互关联，并直接与物理观测量和理论的基本结构相连。

基本定义与物理动机
在量子场论中，一个场算符 \(\hat{\phi}(x)\)（其中 \(x\) 代表时空坐标）在真空态 \(|0\rangle\) 中的期望值 \(\langle 0 | \hat{\phi}(x) | 0 \rangle\) 常为零（对称性下），但场的乘积的期望值一般不为零。两点关联函数定义为：

\[ G^{(2)}(x, y) = \langle 0 | \hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y) | 0 \rangle. \]

它描述了在点 \(x\) 和点 \(y\) 处的场涨落之间的关联强度。若两点时空间隔很大，通常关联衰减至零（短程关联）。关联函数依赖于场的量子统计（玻色或费米），对于费米场需考虑反对易关系。

自由场关联函数与传播子
对于自由标量场，两点关联函数即之前学过的费曼传播子 \(\Delta_F(x-y)\)。它是克莱因-戈登方程在复时空中（加入 \(i\epsilon\) 项）的格林函数，包含了时间顺序乘积：

\[ \langle 0 | T \{ \hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y) \} | 0 \rangle = \Delta_F(x-y). \]

这给出了一个粒子从 \(y\) 传播到 \(x\) 的概率幅。对于自由费米场，类似的定义给出狄拉克传播子 \(S_F(x-y)\)。自由场的高阶关联函数可通过维克定理完全分解为两点函数的乘积之和。

相互作用理论中的关联函数
在有相互作用的量子场论中，关联函数的计算变得复杂。海森伯绘景中 \(n\) 点关联函数定义为：

\[ G^{(n)}(x_1, \dots, x_n) = \langle 0 | T \{ \hat{\phi}(x_1) \dots \hat{\phi}(x_n) \} | 0 \rangle. \]

这包含了所有相互作用效应。通过之前学的路径积分表述，关联函数可简洁表达为：

\[ G^{(n)}(x_1, \dots, x_n) = \frac{\int \mathcal{D}\phi \, \phi(x_1) \dots \phi(x_n) \, e^{i S[\phi]}}{\int \mathcal{D}\phi \, e^{i S[\phi]}}, \]

其中 \(S[\phi]\) 是作用量。分母是生成泛函 \(Z[0]\)，保证真空归一化。

生成泛函与关联函数的系统计算
为统一计算所有关联函数，引入生成泛函：

\[ Z[J] = \int \mathcal{D}\phi \, \exp\left( i S[\phi] + i \int d^4x \, J(x)\phi(x) \right), \]

其中 \(J(x)\) 为外源。关联函数通过对 \(J\) 的函数导数得到：

\[ G^{(n)}(x_1, \dots, x_n) = \left. \frac{1}{i^n} \frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)} \right|_{J=0}. \]

这允许通过微扰论（戴森级数、费曼图）系统计算关联函数：将相互作用项展开，利用自由场传播子为基本构件，用费曼图表示各级修正。

关联函数的物理意义与应用
- 谱函数与粒子质量：将关联函数变换到动量空间后，其极点位置对应物理粒子的质量，留数给出耦合强度。
- 散射振幅：通过 LSZ 约化公式，散射矩阵（S-矩阵）元可从关联函数的残极点在质壳上得到。例如，对于 \(2\to 2\) 散射，需计算四点关联函数并做傅里叶变换。
- 衰减率与截面：关联函数可计算非稳定粒子的衰减宽度及散射截面。
- 非微扰效应：在强耦合理论（如 QCD）中，关联函数可通过格点场论等非微扰方法计算，用于研究夸克禁闭和手征对称性破缺。
谱表示与解析性质
关联函数的傅里叶变换具有一般的谱表示（Källén–Lehmann 谱表示），例如对于标量场：

\[ \langle 0 | T\{ \hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y) \} | 0 \rangle = \int_0^\infty \frac{d\mu^2}{2\pi} \, \rho(\mu^2) \, \Delta_F(x-y; \mu^2), \]

其中谱密度 \(\rho(\mu^2)\) 为正，包含单粒子态贡献（δ函数）和多粒子连续谱。这反映了量子场论的幺正性和因果性。

关联函数与守恒流
若存在连续对称性（如全局 \(U(1)\)），相应的守恒流 \(j^\mu(x)\) 的关联函数 \(\langle 0 | T\{ j^\mu(x) j^\nu(y) \} | 0 \rangle\) 包含了理论的重要信息，例如光子传播子与电流关联函数的关系体现了电磁相互作用的有效强度。

总结：关联函数是量子场论的核心计算对象，它将路径积分、微扰论、散射振幅和物理谱结构统一在一个框架下，是连接理论基本拉格朗日量与实验观测的关键桥梁。

关联函数关联函数是量子场论中用于描述场在不同时空点之间统计关联的核心数学对象。它量化了场的涨落如何相互关联，并直接与物理观测量和理论的基本结构相连。基本定义与物理动机在量子场论中，一个场算符 \(\hat{\phi}(x)\)（其中 \(x\) 代表时空坐标）在真空态 \(|0\rangle\) 中的期望值 \(\langle 0 | \hat{\phi}(x) | 0 \rangle\) 常为零（对称性下），但场的乘积的期望值一般不为零。两点关联函数定义为： \[ G^{(2)}(x, y) = \langle 0 | \hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y) | 0 \rangle. \] 它描述了在点 \(x\) 和点 \(y\) 处的场涨落之间的关联强度。若两点时空间隔很大，通常关联衰减至零（短程关联）。关联函数依赖于场的量子统计（玻色或费米），对于费米场需考虑反对易关系。自由场关联函数与传播子对于自由标量场，两点关联函数即之前学过的费曼传播子 \(\Delta_ F(x-y)\)。它是克莱因-戈登方程在复时空中（加入 \(i\epsilon\) 项）的格林函数，包含了时间顺序乘积： \[ \langle 0 | T \{ \hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y) \} | 0 \rangle = \Delta_ F(x-y). \] 这给出了一个粒子从 \(y\) 传播到 \(x\) 的概率幅。对于自由费米场，类似的定义给出狄拉克传播子 \(S_ F(x-y)\)。自由场的高阶关联函数可通过维克定理完全分解为两点函数的乘积之和。相互作用理论中的关联函数在有相互作用的量子场论中，关联函数的计算变得复杂。海森伯绘景中 \(n\) 点关联函数定义为： \[ G^{(n)}(x_ 1, \dots, x_ n) = \langle 0 | T \{ \hat{\phi}(x_ 1) \dots \hat{\phi}(x_ n) \} | 0 \rangle. \] 这包含了所有相互作用效应。通过之前学的路径积分表述，关联函数可简洁表达为： \[ G^{(n)}(x_ 1, \dots, x_ n) = \frac{\int \mathcal{D}\phi \, \phi(x_ 1) \dots \phi(x_ n) \, e^{i S[ \phi]}}{\int \mathcal{D}\phi \, e^{i S[ \phi ]}}, \] 其中 \(S[ \phi]\) 是作用量。分母是生成泛函 \(Z[ 0 ]\)，保证真空归一化。生成泛函与关联函数的系统计算为统一计算所有关联函数，引入生成泛函： \[ Z[ J] = \int \mathcal{D}\phi \, \exp\left( i S[ \phi ] + i \int d^4x \, J(x)\phi(x) \right), \] 其中 \(J(x)\) 为外源。关联函数通过对 \(J\) 的函数导数得到： \[ G^{(n)}(x_ 1, \dots, x_ n) = \left. \frac{1}{i^n} \frac{\delta^n Z[ J]}{\delta J(x_ 1) \dots \delta J(x_ n)} \right|_ {J=0}. \] 这允许通过微扰论（戴森级数、费曼图）系统计算关联函数：将相互作用项展开，利用自由场传播子为基本构件，用费曼图表示各级修正。关联函数的物理意义与应用谱函数与粒子质量：将关联函数变换到动量空间后，其极点位置对应物理粒子的质量，留数给出耦合强度。散射振幅：通过 LSZ 约化公式，散射矩阵（S-矩阵）元可从关联函数的残极点在质壳上得到。例如，对于 \(2\to 2\) 散射，需计算四点关联函数并做傅里叶变换。衰减率与截面：关联函数可计算非稳定粒子的衰减宽度及散射截面。非微扰效应：在强耦合理论（如 QCD）中，关联函数可通过格点场论等非微扰方法计算，用于研究夸克禁闭和手征对称性破缺。谱表示与解析性质关联函数的傅里叶变换具有一般的谱表示（Källén–Lehmann 谱表示），例如对于标量场： \[ \langle 0 | T\{ \hat{\phi}(x) \hat{\phi}(y) \} | 0 \rangle = \int_ 0^\infty \frac{d\mu^2}{2\pi} \, \rho(\mu^2) \, \Delta_ F(x-y; \mu^2), \] 其中谱密度 \(\rho(\mu^2)\) 为正，包含单粒子态贡献（δ函数）和多粒子连续谱。这反映了量子场论的幺正性和因果性。关联函数与守恒流若存在连续对称性（如全局 \(U(1)\)），相应的守恒流 \(j^\mu(x)\) 的关联函数 \(\langle 0 | T\{ j^\mu(x) j^\nu(y) \} | 0 \rangle\) 包含了理论的重要信息，例如光子传播子与电流关联函数的关系体现了电磁相互作用的有效强度。总结：关联函数是量子场论的核心计算对象，它将路径积分、微扰论、散射振幅和物理谱结构统一在一个框架下，是连接理论基本拉格朗日量与实验观测的关键桥梁。