薛定谔方程

1. 背景与动机
   在20世纪初，物理学家已认识到微观粒子（如电子）具有波粒二象性。1924年德布罗意提出物质波假说，指出粒子能量 \(E\) 和动量 \(p\) 对应波的频率 \(\nu\) 和波长 \(\lambda\)：

\[ E = h\nu, \quad p = \frac{h}{\lambda} \]

其中 \(h\) 为普朗克常数。这启发了埃尔温·薛定谔思考：是否存在一个波动方程来描述物质波的行为？

2. 方程的建立
   薛定谔从经典波动方程出发，结合德布罗意关系，于1926年提出了非相对论性波动方程。对于自由粒子（势能 \(V=0\)），他类比经典波动方程，假设波函数 \(\Psi(x,t)\) 满足：

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} \Psi \]

其中 \(\hbar = h/2\pi\)，\(m\) 为粒子质量，\(i\) 为虚数单位。引入势能场 \(V(x)\) 后，方程扩展为：

\[ i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right] \Psi \]

这就是含时薛定谔方程的一维形式。

3. 方程的含义
   波函数 \(\Psi(x,t)\) 是描述量子系统状态的核心数学量，其模平方 \(|\Psi|^2\) 代表在位置 \(x\) 处发现粒子的概率密度。方程的解需满足归一化条件：

\[ \int_{-\infty}^{\infty} |\Psi|^2 dx = 1 \]

方程本身是线性的，满足叠加原理，体现了量子态的相干性。

4. 定态薛定谔方程
   当势能 \(V\) 不显含时间时，可用分离变量法求解。设 \(\Psi(x,t) = \psi(x) e^{-iEt/\hbar}\)，代入含时方程得到定态方程：

\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi + V(x) \psi = E \psi \]

其中 \(E\) 为粒子能量，\(\psi(x)\) 为定态波函数。该方程本征值问题可给出能量量子化（如氢原子能级）。

5. 应用与意义
   • 氢原子光谱：求解库仑势下的薛定谔方程，自然得到玻尔模型中的能级公式，并解释光谱精细结构。
   • 量子隧道效应：方程允许粒子以一定概率穿过高于自身能量的势垒。
   • 固体物理：用于计算晶体中电子能带结构。
     薛定谔方程奠定了非相对论量子力学的动力学基础，与海森堡矩阵力学共同构成量子力学的核心框架。