量子信道 第一步：从经典信道到量子信道 在经典信息论中，信道是信息（以比特形式）从发送端传输到接收端的物理媒介或数学模型，其特征是存在一定的错误概率或噪声。例如，电线、光纤或无线链路。与之对应，在量子信息科学中， 量子信道 是用于传输量子信息（通常以量子比特形式）的物理媒介或抽象数学模型。它的核心特征是能够描述量子系统与环境相互作用导致的 广义演化 ，这种演化可能包含噪声、失真和退相干。 第二步：量子信道的数学定义——量子操作 量子信道最严谨的定义基于量子操作的数学框架。考虑一个初始处于密度矩阵ρ的量子系统（输入系统，希尔伯特空间为H_ A）。一个量子信道E是一个将输入系统的态映射到输出系统（希尔伯特空间为H_ B）的态的 完全正定保迹映射 。 保迹 ：Tr[ E(ρ)] = Tr[ ρ ] = 1，保证输出态仍是合法的密度矩阵（概率和为1）。 完全正定 ：这是关键要求。不仅要求E本身是正定映射（将正算符映射为正算符），还要求将E与任意大小的恒等信道I_ R做张量积后，其复合映射 (E ⊗ I_ R) 仍然是正定的。这保证了即使输入态是某个更大复合系统的一部分（与参考系统R纠缠），映射后的输出仍然是有效的物理态（保持正定性），这是量子力学可允许物理过程的基本要求。 第三步：量子信道的表示定理 量子操作有几个等价的数学表示，这些表示给出了构造和理解量子信道的具体方式： 算符和表示 ：任何量子信道E都可以表示为一组Kraus算符 {E_ k} 的和，使得 E(ρ) = Σ_ k E_ k ρ E_ k^†。其中，Σ_ k E_ k^† E_ k = I（单位算符），这保证了映射的保迹性。Kraus算符的个数称为信道的秩。这个表示直接对应了系统与环境发生幺正相互作用后，对环境进行部分迹（忽略环境）的物理图像。 互补信道 ：对于上述系统-环境相互作用模型，在关注系统本身演化得到信道E的同时，我们也可以关注环境系统演化得到的信道，这称为E的互补信道。它刻画了“泄露”到环境中的信息。 圣维南表示 ：利用密度矩阵按泡利算符基展开，信道可以表示为一个矩阵作用于态的广义布洛赫向量上，这对某些计算很有用。 第四步：量子信道的核心特征与分类 量子信道根据其物理效应和信息保真能力进行分类： 保单位性信道 ：即幺正信道，E(ρ) = UρU^†。这是无噪、可逆的完美信道。 保迹信道 ：如上定义，是描述一般噪声过程的最广类型。 不可信信道 ：无法用一个幺正算符作用于系统本身来实现的信道。所有产生纠缠破坏（退相干）或能量耗散的信道都是不可信的。 退极化信道 ：以概率p将输入态完全混合化（变为完全混合态I/d），以概率1-p保持原态。 幅值阻尼信道 ：描述能量耗散（如原子自发辐射）的模型，有明确的物理参数。 相位阻尼信道 ：描述退相干（相位信息丢失）而无能量损失的模型。 第五步：量子信道容量——核心信息论问题 这是量子信道理论的中心问题：一个给定信道在无限次使用和最优编码下的最大可靠传输速率是多少？与经典信道单一容量不同，量子信道有多种容量，取决于传输的信息类型： 经典容量 C ：信道仅用于传输经典信息时，每使用信道一次能可靠传输的最大经典比特数。 量子容量 Q ：信道用于传输量子信息（即保持任意量子态的相干性）时，每使用信道一次能可靠传输的最大量子比特数。通常 Q ≤ C。 纠缠辅助经典容量 C_ E ：如果通信双方事先共享纠缠资源，利用信道所能达到的经典容量。通常 C_ E ≥ C。 私密容量 ：用于传输经典信息，同时要求窃听者（通常建模为互补信道）获取不到任何信息。 第六步：量子信道与纠错及容错计算的关系 理解量子信道对于实现量子计算至关重要： 噪声模型 ：量子信道（如退极化信道）为量子计算中的噪声提供了精确的数学模型，是设计 量子纠错码 （你已学过）的基础。 阈值定理 ：只有当物理量子信道的噪声水平低于某个“阈值”时，通过量子纠错和容错协议构造出的逻辑量子信道，其有效噪声才能被无限降低，从而实现大规模量子计算。这个逻辑信道可以看作是对物理不良信道的一种“逆转”或“净化”。