边界条件 引入概念 在电磁学中，我们经常求解由麦克斯韦方程组描述的场（电场 E 、电位移 D 、磁场 B 、磁场强度 H ）。这些场在空间中的分布取决于源（电荷、电流）和空间材料的特性。当空间存在两种或多种不同介质（如空气-玻璃、真空-导体）时，介质的分界面（边界）处材料的电磁特性（如电容率 ε、磁导率 μ）发生突变。麦克斯韦方程组本身是微分形式，适用于介质特性连续的区域。在特性突变的边界上，场的行为需要用一套独立的规则来描述，这套规则就是 边界条件 。它们本质上是麦克斯韦方程组在无限薄边界层上的积分形式应用。 法向分量的边界条件 我们首先考虑电场。在两种介质的分界面上作一个扁平的“高斯盒”（圆柱体），其高度趋于零，上下底面分别位于介质1和介质2中，与界面平行。对麦克斯韦方程中的高斯电场定律（关于 D ）和高斯磁场定律（关于 B ）在此高斯盒上应用积分形式。 电位移矢量 D 的法向分量 ：高斯电场定律的积分形式表明，通过闭合面的 D 通量等于面内包围的自由电荷。在边界无自由面电荷密度（ρₛ = 0）的情况下， D 的法向分量连续： n · ( D₁ - D₂ ) = 0 或 D₁ₙ = D₂ₙ。如果存在自由面电荷密度 ρₛ，则 n · ( D₁ - D₂ ) = ρₛ，表明法向分量发生突变，突变量等于 ρₛ。 磁感应强度 B 的法向分量 ：高斯磁场定律表明磁通是连续的，闭合面内不存在“磁荷”。因此， B 的法向分量总是连续的： n · ( B₁ - B₂ ) = 0 或 B₁ₙ = B₂ₙ。 切向分量的边界条件 接着考虑磁场和感应电场。在分界面上作一个扁平的矩形回路，其长边平行于界面，分别位于两种介质中，短边高度趋于零。对麦克斯韦方程中的法拉第电磁感应定律（关于 E ）和安培-麦克斯韦定律（关于 H ）在此回路上应用积分形式。 电场强度 E 的切向分量 ：法拉第定律表明，感应电动势等于磁通变化率的负值。在静态场或界面两侧场为有限值的普遍情况下，磁通变化率通过零面积回路为零，因此 E 的切向分量连续： n × ( E₁ - E₂ ) = 0 或 E₁ₜ = E₂ₜ。 磁场强度 H 的切向分量 ：安培-麦克斯韦定律表明， H 的环流等于穿过回路的自由电流与位移电流之和。如果边界上无自由面电流密度（ K ₛ = 0），则 H 的切向分量连续： n × ( H₁ - H₂ ) = 0 或 H₁ₜ = H₂ₜ。如果存在自由面电流密度 K ₛ（如理想导体表面），则 n × ( H₁ - H₂ ) = K ₛ，表明切向分量发生突变，突变量由 K ₛ 决定。 理想导体的特殊边界条件 理想导体（电导率 σ → ∞）内部电场为零。在静场或低频条件下，时变场在其内部也迅速衰减为零（趋肤效应极限）。因此，理想导体边界条件是上述一般条件的特例： 导体内部 E = 0， B = 0。 外部紧贴导体表面的电场 E 必须垂直于表面（满足内部 Eₜ=0 导致外部 Eₜ=0），其法向分量由表面自由电荷密度决定： D ₙ = ρₛ。 外部紧贴导体表面的磁场 B 必须平行于表面（满足内部 B=0 导致外部 Bₙ=0），其切向分量由表面自由电流密度决定： n × H = K ₛ。 总结与应用意义 边界条件是连接不同介质区域电磁场的“桥梁”。它们完整地描述了电场和磁场的法向与切向分量在介质分界面上的行为。在求解任何实际的电磁场边值问题（如静电场中的电容器、静磁场中的磁路、波导或辐射问题中的电磁波传播）时，除了给定源和远处条件外，必须在所有介质分界面上严格应用这些边界条件，才能唯一且正确地确定整个空间的场分布。它们是麦克斯韦方程组应用于实际物理结构时不可或缺的补充约束。