边界积分法 (Boundary Integral Method, BIM) 问题背景与核心思想 在许多物理和工程问题中，我们关心的是分布在某个空间区域（如流体域、固体域）中的场（如压力、温度、位移）。传统方法（如有限元法）通常需要在整个区域内部离散化并求解控制方程。 边界积分法（BIM）的核心思想是，对于一大类由线性、齐次（即区域内无源项）偏微分方程（如拉普拉斯方程、亥姆霍兹方程、线性弹性方程）控制的问题，其区域内任意一点的解，可以完全由边界上的物理量及其法向导数（即通量）来表示。这使得我们只需在区域的 边界 上进行离散和计算，从而将问题维度降低一维（例如，三维体问题变为二维面问题，二维面问题变为一维线问题）。 数学基础：格林公式与基本解 这一思想根植于数学中的 格林公式 。以最简单的拉普拉斯方程（∇²φ = 0，描述稳态无源热传导、势流等）为例，通过应用格林第二恒等式，可以得到边界积分方程： c(p)φ(p) = ∫_Γ [G(p,q) * ∂φ(q)/∂n - ∂G(p,q)/∂n * φ(q)] dΓ(q) 这里， p 是场点（我们关心的点）， q 是源点（在边界Γ上移动的点）。 φ(q) 和 ∂φ(q)/∂n 分别是边界上的势函数及其法向导数（未知量）。 G(p,q) 称为方程的 基本解 ，其物理意义是：在无限大域中，位于 q 点的一个“点源”在 p 点产生的“响应”。对于三维拉普拉斯方程， G(p,q)=1/(4πr) ，其中 r 是 p 和 q 之间的距离。 c(p) 是一个与点 p 位置有关的几何系数（在区域内部为1，在光滑边界上为1/2）。 边界离散与数值实现 为了数值求解这个积分方程，我们需要将边界Γ离散成许多小单元（如二维问题的线段、三维问题的三角形或四边形面板），这个过程称为 边界元 离散。 在每个边界元上，我们假设未知函数（φ和∂φ/∂n）按照某种简单的方式变化（例如为常数，或线性变化）。将积分方程中的积分写成所有边界元上积分的和。 通过将“场点” p 依次放置在每个边界元的 节点 （或称 配点 ）上，我们可以建立一组线性代数方程。这个步骤称为 配点 。方程形式为： [H]{φ} = [G]{∂φ/∂n} 其中， [H] 和 [G] 是由积分计算得到的系数矩阵， {φ} 和 {∂φ/∂n} 是节点上的未知向量。应用具体的边界条件（例如，部分边界给定φ，部分边界给定∂φ/∂n）后，即可解出所有边界节点上的未知量。 后处理与优势分析 一旦所有边界上的φ和∂φ/∂n都已知，就可以利用最初的积分表达式，将其中的 p 点取在区域内部任意位置，直接通过边界上的已知量进行积分计算，从而得到区域内部任意点的物理量，而 不需要重新进行区域离散求解 。这是BIM的一大优势。 主要优点 ：1) 维度降低，数据准备和网格生成简单；2) 无限域问题（如声场、无界流场）处理自然，无需人工截断边界；3) 计算精度高，尤其对于边界应力集中问题；4) 后处理方便。 主要缺点 ：1) 形成的系数矩阵 [H] 和 [G] 通常是稠密非对称的，存储和计算成本为O(N²)，N为边界元数，不适用于超大规模问题（但可通过快速多极子等算法加速）；2) 主要适用于线性、齐次控制方程的问题，处理非线性或强非均匀性问题较为复杂。 典型应用领域 势流理论 ：计算飞机、船舶周围的理想流体流动。 线性弹性力学 ：求解结构中的应力集中、裂纹扩展问题。 声学 ：计算噪声辐射、散射。 电磁学 ：求解静电场、静磁场和低频电磁场问题。 断裂力学 ：是计算应力强度因子的经典工具。