薛定谔方程
字数 1692 2025-12-14 11:44:03

薛定谔方程

  1. 经典物理中的状态描述：在牛顿力学中，一个粒子在某一时刻的运动状态，可以用它的位置和动量（质量乘以速度）这两个物理量来精确确定。知道了某一时刻的位置和动量以及它所受的力，就可以通过牛顿第二定律准确预测它未来任何时刻的位置和动量。这是一种决定论的描述。

  2. 量子体系的状态困境：进入微观世界（如电子、光子），我们遇到了根本性困难。海森堡的“不确定性原理”指出，我们无法同时精确确定一个微观粒子的位置和动量。这意味着，微观粒子的状态无法用经典的位置和动量这对概念来精确、完备地描述。我们需要一个全新的方式。

  3. 波函数概念的引入：为了描述微观粒子的状态，物理学家引入了波函数，通常用希腊字母 Ψ 表示。波函数是时间和空间坐标的函数，写作 Ψ(x, y, z, t)。它本身不是一个可以直接测量的物理量。它的物理意义由玻恩的统计诠释给出：波函数模的平方 |Ψ(x, y, z, t)|² 代表了在空间某点 (x, y, z) 处、在 t 时刻发现这个粒子的概率密度。因此，波函数描述的是概率分布，而非粒子的确定轨迹。

  4. 状态如何演化？从牛顿定律到薛定谔方程：在经典力学中，牛顿第二定律（F=ma）决定了状态（位置、动量）如何随时间变化。在量子力学中，我们需要一个方程来决定波函数如何随时间变化。这个基本方程就是薛定谔方程。它由埃尔温·薛定谔于1926年建立，是量子力学的核心动力学方程，其地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。

  5. 薛定谔方程的形式：

    • 含时薛定谔方程描述了波函数随时间演变的一般规律：
      iℏ ∂Ψ/∂t = Ĥ Ψ
      其中，i 是虚数单位，ℏ 是约化普朗克常数（h/2π），∂Ψ/∂t 是波函数对时间的偏导数，Ĥ 称为哈密顿算符。
    • 哈密顿算符 Ĥ 对应于系统的总能量。对于一个在势场 V(x, y, z) 中运动的粒子，它的具体形式是：Ĥ = - (ℏ²/2m) ∇² + V。这里，m 是粒子质量，∇² 是拉普拉斯算符（对空间坐标的二阶偏导数之和），V 是势能函数。
    • 这个方程是一个线性微分方程，这导致了量子力学中重要的叠加原理：如果 Ψ₁ 和 Ψ₂ 是方程的解，那么它们的任意线性组合（aΨ₁ + bΨ₂）也是方程的解。

  6. 定态薛定谔方程：在大量实际问题中，势能 V 不随时间变化。此时，我们可以用分离变量法求解含时薛定谔方程，得到一种特别重要的解——定态解。其波函数可以写成一个空间函数和一个时间函数的乘积：Ψ(x, t) = ψ(x) * e^(-iEt/ℏ)。其中，空间部分 ψ(x) 满足定态薛定谔方程：
    Ĥ ψ(x) = E ψ(x)
    这是一个关于空间坐标的方程，不显含时间。这里的 E 是一个常数，具有能量的量纲。

  7. 定态解的意义：

    • 能量本征值方程：定态薛定谔方程是一个本征值方程。算符 Ĥ 作用在函数 ψ 上，结果等于一个常数 E 乘以这个函数本身。这个常数 E 被称为本征值，对应的函数 ψ 被称为本征函数或本征态。
    • 能量量子化：在束缚态条件下（如无限深方势阱、谐振子、氢原子），并非任意 E 值都能使方程有物理可接受的解（即满足连续、有限、单值等边界条件的波函数）。只有一系列分立的、特定的 E 值才是允许的。这些允许的能量值 E₁, E₂, E₃... 称为能级。这是能量量子化的自然体现，而不需要像旧量子论那样作为额外假设引入。
    • 定态的性质：处于定态（即波函数是某个能量本征态）的粒子，其概率密度 |Ψ|² = |ψ(x)|² 不随时间变化，系统的能量具有确定值 E。

总结：薛定谔方程是量子力学中描述波函数（即系统状态）随时间演化的基本动力学方程。通过求解特定势能下的薛定谔方程（特别是定态薛定谔方程），我们可以得到系统的允许能级（量子化条件）和对应的波函数，进而计算出所有可观测量的概率分布。它是不确定性原理之后，构建完整量子理论框架的基石。

薛定谔方程 经典物理中的状态描述 ：在牛顿力学中，一个粒子在某一时刻的运动状态，可以用它的 位置 和 动量 （质量乘以速度）这两个物理量来精确确定。知道了某一时刻的位置和动量以及它所受的力，就可以通过牛顿第二定律准确预测它未来任何时刻的位置和动量。这是一种 决定论 的描述。 量子体系的状态困境 ：进入微观世界（如电子、光子），我们遇到了根本性困难。海森堡的“不确定性原理”指出，我们无法同时精确确定一个微观粒子的位置和动量。这意味着，微观粒子的状态无法用经典的位置和动量这对概念来精确、完备地描述。我们需要一个全新的方式。 波函数概念的引入 ：为了描述微观粒子的状态，物理学家引入了 波函数 ，通常用希腊字母 Ψ 表示。波函数是时间和空间坐标的函数，写作 Ψ(x, y, z, t) 。它本身不是一个可以直接测量的物理量。它的物理意义由玻恩的统计诠释给出：波函数模的平方 |Ψ(x, y, z, t)|² 代表了在空间某点 (x, y, z) 处、在 t 时刻 发现 这个粒子的 概率密度 。因此，波函数描述的是概率分布，而非粒子的确定轨迹。 状态如何演化？从牛顿定律到薛定谔方程 ：在经典力学中，牛顿第二定律（F=ma）决定了状态（位置、动量）如何随时间变化。在量子力学中，我们需要一个方程来决定 波函数如何随时间变化 。这个基本方程就是薛定谔方程。它由埃尔温·薛定谔于1926年建立，是量子力学的核心动力学方程，其地位相当于经典力学中的牛顿第二定律。 薛定谔方程的形式 ： 含时薛定谔方程 描述了波函数随时间演变的一般规律： iℏ ∂Ψ/∂t = Ĥ Ψ 其中， i 是虚数单位， ℏ 是约化普朗克常数（h/2π）， ∂Ψ/∂t 是波函数对时间的偏导数， Ĥ 称为 哈密顿算符 。 哈密顿算符 Ĥ 对应于系统的总能量。对于一个在势场 V(x, y, z) 中运动的粒子，它的具体形式是： Ĥ = - (ℏ²/2m) ∇² + V 。这里， m 是粒子质量， ∇² 是拉普拉斯算符（对空间坐标的二阶偏导数之和）， V 是势能函数。 这个方程是一个 线性微分方程 ，这导致了量子力学中重要的 叠加原理 ：如果 Ψ₁ 和 Ψ₂ 是方程的解，那么它们的任意线性组合（aΨ₁ + bΨ₂）也是方程的解。 定态薛定谔方程 ：在大量实际问题中，势能 V 不随时间变化。此时，我们可以用分离变量法求解含时薛定谔方程，得到一种特别重要的解—— 定态解 。其波函数可以写成一个空间函数和一个时间函数的乘积： Ψ(x, t) = ψ(x) * e^(-iEt/ℏ) 。其中，空间部分 ψ(x) 满足 定态薛定谔方程 ： Ĥ ψ(x) = E ψ(x) 这是一个关于空间坐标的方程，不显含时间。这里的 E 是一个常数，具有能量的量纲。 定态解的意义 ： 能量本征值方程 ：定态薛定谔方程是一个 本征值方程 。算符 Ĥ 作用在函数 ψ 上，结果等于一个常数 E 乘以这个函数本身。这个常数 E 被称为 本征值 ，对应的函数 ψ 被称为 本征函数 或 本征态 。 能量量子化 ：在束缚态条件下（如无限深方势阱、谐振子、氢原子），并非任意 E 值都能使方程有物理可接受的解（即满足连续、有限、单值等边界条件的波函数）。只有一系列 分立的、特定的 E 值 才是允许的。这些允许的能量值 E₁, E₂, E₃... 称为 能级 。这是能量量子化的自然体现，而不需要像旧量子论那样作为额外假设引入。 定态的性质 ：处于定态（即波函数是某个能量本征态）的粒子，其概率密度 |Ψ|² = |ψ(x)|² 不随时间变化，系统的能量具有确定值 E 。 总结 ：薛定谔方程是量子力学中描述波函数（即系统状态）随时间演化的基本动力学方程。通过求解特定势能下的薛定谔方程（特别是定态薛定谔方程），我们可以得到系统的 允许能级 （量子化条件）和对应的 波函数 ，进而计算出所有可观测量的概率分布。它是不确定性原理之后，构建完整量子理论框架的基石。