伊辛模型 伊辛模型是一个用于描述磁性系统中相变和临界现象的简化统计模型。其核心思想是用一系列离散变量代表磁性材料中原子磁矩（自旋）的取向，并研究它们之间的相互作用如何导致宏观磁性的产生与消失。 第一步：模型的基本定义 考虑一个晶格（例如一维链、二维方格或三维立方格子），每个格点i上有一个自旋变量σᵢ。在最简单的伊辛模型中，σᵢ只能取两个值：+1（代表自旋向上）或-1（代表自旋向下）。系统的哈密顿量（即能量函数）为： H = -J ∑_ { <i,j>} σᵢ σⱼ - μB ∑ᵢ σᵢ 其中： 求和符号∑_ { <i,j>}表示对所有相邻的格点对（i, j）进行求和。通常只考虑最近邻相互作用。 J是交换耦合常数，描述相互作用的强度。J > 0时，相邻自旋平行（σᵢσⱼ=+1）能量更低，倾向于同向排列，称为铁磁性相互作用；J < 0时，相邻自旋反平行能量更低，称为反铁磁性相互作用（通常反铁磁情形需考虑子晶格，此处是基本铁磁版本）。 第二项是外磁场B中的塞曼能，μ代表有效磁矩。当B>0时，自旋倾向于与磁场同向（取+1）。 第二步：统计力学分析 在给定温度T下，系统处于某个微观状态（即一组特定的自旋构型{σᵢ}）的概率由玻尔兹曼分布给出：P ∝ exp(-H/kT)，其中k是玻尔兹曼常数。系统的宏观性质，如平均磁化强度M = (1/N) ∑ᵢ ⟨σᵢ⟩（⟨…⟩表示统计平均值），需通过对所有可能自旋构型的配分函数Z = ∑_ {所有构型} exp(-H/kT) 求导得到。模型的目标是计算M随温度T和磁场B的变化。 第三步：一维伊辛模型的精确解 一维链（N个自旋排成一条线，有周期边界条件）的伊辛模型可以精确求解。通过转移矩阵方法可得，在无外场（B=0）时，配分函数可解析计算。重要结论是：一维伊辛模型在有限温度下没有相变。在T>0时，自旋关联函数随距离呈指数衰减，即⟨σᵢσⱼ⟩ ∼ e^{-|i-j|/ξ}，关联长度ξ随温度降低而增长，但仅在绝对零度T=0时发生相变，此时所有自旋平行，出现铁磁序。这表明一维系统中热涨落足够强，足以破坏任何有限温度下的长程序。 第四步：二维伊辛模型的精确解与相变 昂萨格（Onsager）在1944年给出了无外场时二维正方晶格伊辛模型的精确解，这是统计物理的里程碑。结果表明存在一个临界的温度T_ c（居里温度）。当T > T_ c时，系统处于顺磁相，平均磁化M=0（无外场时），自旋杂乱取向，但存在短程关联；当T < T_ c时，系统发生自发对称性破缺，即使外场B=0，也会出现非零的宏观磁化M ≠ 0，进入铁磁相。在T_ c点，磁化强度随温度以幂律形式趋于零：M ∼ (T_ c - T)^β，其中β=1/8（二维）。同时，比热在T_ c处呈现对数发散，标志着二阶相变。这个精确解首次从微观模型严格证明了相变的存在，并给出了临界指数。 第五步：平均场近似及其局限性 对于更高维或复杂相互作用，精确解困难，常采用平均场近似。其核心思想是将一个自旋所受的邻居自旋作用等效为一个平均场（即用平均磁化M代替邻居自旋变量）。由此可得自洽方程：M = tanh[ (zJM + μB)/kT]，其中z是最近邻数目。此方程在B=0时给出T_ c^{MF} = zJ/k，并预言临界指数β=1/2。平均场理论在维数较高（≥4）时较好，但在二维或三维下与精确解或模拟结果有偏差，因为它忽略了自旋涨落和关联效应，而这在临界点附近至关重要。 第六步：普适性与重整化群视角 伊辛模型的重要性远超磁性系统。其相变行为属于一个“普适类”，即许多不同系统（如气液临界点、二元合金有序-无序相变）在临界点附近具有相同的临界指数，只取决于维度和序参量维度（伊辛模型序参量为标量，即磁化强度，是“伊辛普适类”）。威尔逊的重整化群理论提供了框架：通过不断粗粒化尺度，将系统参数（如温度、耦合常数）流动到不动点，临界点对应不稳定不动点，临界指数由不动点附近的线性化矩阵本征值决定。伊辛模型是该理论的核心范例。 第七步：扩展与应用 伊辛模型有大量变体和应用： 加入随机耦合（J随机取值）成为“自旋玻璃”模型，描述无序磁性系统。 用于描述晶格气体（将σᵢ=±1对应格点有无原子）或二元合金。 在神经网络、社会动力学中作为简化模型，模拟二态单元的相互作用。 其简洁性和丰富的物理内涵使其成为理解合作现象、相变和临界现象的基准模型。