维克定理
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核心问题与准备知识：在量子场论，特别是处理相互作用时，我们需要计算场算符乘积的真空期望值，例如 \(\langle 0|T\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)|0\rangle\)，这称为格林函数或关联函数。我们已经知道自由理论（即没有相互作用的场）的传播子，就是两个场的时序乘积的真空期望值。一个自然的问题是：如果一个理论可以写成自由部分加一个相互作用部分，我们能否将所有关联函数都用自由理论（即已知的传播子）来表达？
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定理的直观表述：维克定理由此给出了一个精确的数学工具。它指出：对于自由场论，任意多个场算符的时序乘积的真空期望值，等于所有这些场算符所有可能的“两两收缩”之和。这里的“收缩”，本质上就是指用这两个场算符对应的自由传播子（即它们自由理论的二点格林函数）来替代这一对场算符。
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关键概念的准确定义：
- 正规序：对于一个场算符乘积，将所有产生算符移到左边，所有湮灭算符移到右边，称为正规序。正规序的真空期望值为零，因为 \(\langle 0|a^\dagger a|0\rangle = 0\)。
- 收缩：两个场算符 \(\phi(x)\) 和 \(\phi(y)\) 的收缩定义为两者的时序乘积减去正规序的差值，记为 \(\underline{\phi(x)\phi(y)}\)。计算其真空期望值可得：\(\langle 0|\underline{\phi(x)\phi(y)}|0\rangle = \langle 0|T\phi(x)\phi(y)|0\rangle_{\text{自由}} = D_F(x-y)\)，即自由费曼传播子。
- 维克定理的核心等式：对于自由玻色子场，其时序乘积等于其正规序与所有可能的收缩（包含不同时收缩）之和：
\[ T[\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n)] = N[\phi(x_1)\phi(x_2)\cdots\phi(x_n) + \text{所有可能的收缩}] \]
取上式两边的真空期望值。由于正规序的真空期望值为零，剩下有贡献的项是那些**所有场算符都被两两配对收缩**的项（称为“完全收缩”）。因此：
\[ \langle 0|T\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)|0\rangle_{\text{自由}} = \sum_{\text{所有配对方式}} D_F(x_{i_1}-x_{j_1}) \cdots D_F(x_{i_{n/2}}-x_{j_{n/2}}) \]
其中求和遍历所有将 n 个点（n为偶数）两两配对的方式。
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在相互作用理论中的应用：维克定理之所以是微扰计算的基石，是因为在相互作用绘景中，时间演化算符和相互作用哈密顿量被展开成自由场算符的乘积。我们需要计算诸如 \(\langle 0|T \phi_I(x_1)\cdots\phi_I(x_n) S_I |0\rangle\) 的表达式。将 S 矩阵（S_I）用戴森级数展开后，被积函数是自由场算符的时序乘积。应用维克定理，我们可以将这个复杂的时序乘积系统地化为一系列传播子的乘积（即收缩）之和。每一项收缩的组合方式，都唯一地对应一个费曼图的拓扑结构和其贡献的规则。
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与已学知识的联系与总结：维克定理是连接抽象算符计算与图形化费曼规则之间的数学桥梁。它将相互作用绘景中复杂的时序乘积的真空期望值，分解为最基本的构件——自由传播子的乘积之和。在微扰论的框架下，这直接导致了费曼图的计算规则：每一个完全收缩方案对应一个费曼图，图中的每一条内线对应一个收缩（即一个传播子）。因此，没有维克定理，就无法从戴森级数系统地推导出费曼图的微扰计算规则。