真空期望值 核心概念引入 ：在量子场论中，系统的状态由态矢量描述，而可观测量由算符表示。其中，一个具有基础重要性且非平凡的量是 真空期望值 。它指的是某个物理算符在系统 基态 （即能量最低的状态，称为真空态）下的期望值。形式上，对于一个算符 \( \hat{O} \)，其真空期望值记为 \( \langle 0 | \hat{O} | 0 \rangle \)，其中 \( |0\rangle \) 代表真空态。 自由场真空与正规序 ：首先考虑最简单的自由理论。自由场的哈密顿量经过正则量子化后，其基态是 无任何粒子存在的态 。然而，许多基本算符（如场算符本身、其乘积、甚至哈密顿量密度）在真空下的期望值会涉及 零点涨落 ，导致发散积分。例如，自由标量场的哈密顿量 \( \hat{H} \) 可表达为产生湮灭算符之和，其真空期望值 \( \langle 0 | \hat{H} | 0 \rangle \) 是对所有动量模的零点能求和，结果为无穷大。 处理发散与物理定义 ：这个发散是一个常数无穷大，通常不包含可观测的物理效应。为了得到有限的物理结果，我们通过引入 正规序 来重新定义算符。正规序（用 \( :\hat{O}: \) 表示）将算符中的所有产生算符置于所有湮灭算符的左侧。这样，正规排序后的算符在真空态下的期望值被强制定义为 \( \langle 0 | :\hat{O}: | 0 \rangle = 0 \)。物理的、可观测的能量是相对于这个“零点”的差值，因此无穷大的真空零点能被减除。 相互作用场真空的复杂性 ：当我们引入相互作用后，情况变得复杂。相互作用理论的真实真空态 \( |\Omega\rangle \) 不再是自由理论的真空态 \( |0\rangle \)。它是一个极其复杂的态，其中充满了由于相互作用导致的虚粒子产生-湮灭过程的持续涨落。因此，一个算符在真实真空下的期望值 \( \langle \Omega | \hat{O} | \Omega \rangle \) 包含了相互作用的全部非微扰信息，通常无法精确计算。 基态能量与有效势 ：一个关键的真空期望值是 哈密顿量密度 的VEV，它给出了 真空的能量密度 ，在宇宙学中与暗能量相关。在自发对称性破缺理论中， 标量场（如希格斯场）的VEV \( \langle \Omega | \hat{\phi}(x) | \Omega \rangle \) 是一个常数（位置无关），标志着对称性破缺的序参量。这个VEV可以通过计算场的 有效势 \( V_ {\text{eff}}(\phi_ c) \) 并寻找其最小值来得到，其中最小值点 \( \phi_ c = v \) 就是场的真空期望值。 与关联函数的关系 ：真空期望值的最常见应用是定义场的 关联函数 。例如，两点关联函数（即费曼传播子）正是场算符乘积的真空期望值：\( \Delta_ F(x-y) = \langle \Omega | T \hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y) | \Omega \rangle \)，其中 \( T \) 是时序乘积。这个量是散射振幅计算的核心。在路径积分表述中，这个VEV被优雅地表示为一个加权平均：\( \langle \hat{\phi}(x)\hat{\phi}(y) \rangle = \frac{\int \mathcal{D}\phi\ \phi(x)\phi(y) e^{iS[ \phi]}}{\int \mathcal{D}\phi\ e^{iS[ \phi ]}} \)。 物理意义总结 ：因此，真空期望值绝非简单的“零”。它编码了相互作用的全部基态特性，包括对称性破缺模式、质量生成、凝聚形成（如手征凝聚、夸克凝聚）以及真空本身作为复杂介质的光学性质（如折射率）。计算一个理论的物理可观测值，本质上就是计算其算符在真实真空 \( |\Omega\rangle \) 下的期望值。