戴森级数
戴森级数是量子场论和量子力学中，对时间演化算符在相互作用绘景下的一种微扰展开形式。它将复杂的、难以精确求解的相互作用系统的演化，表达为一系列自由哈密顿量演化与相互作用哈密顿量作用的积分之和。
- 起点：相互作用绘景中的时间演化
在相互作用绘景中，态矢量和算符都随时间演化。态矢量的演化由相互作用哈密顿量 \(H_I(t)\) 决定，其满足薛定谔方程（取 \(\hbar = 1\)）：
\[ i \frac{d}{dt} |\psi_I(t)\rangle = H_I(t) |\psi_I(t)\rangle \]
其形式解可以写成一个时间演化算符 $ U(t, t_0) $：
\[ |\psi_I(t)\rangle = U(t, t_0) |\psi_I(t_0)\rangle, \quad 且 \quad U(t_0, t_0) = 1 \]
这个 $ U(t, t_0) $ 是我们要寻找的关键对象。
- 核心方程与迭代求解
从薛定谔方程可知，\(U(t, t_0)\) 满足微分方程和初值条件：
\[ i \frac{\partial}{\partial t} U(t, t_0) = H_I(t) U(t, t_0)， \quad U(t_0, t_0) = 1 \]
这个方程可以改写为等价的积分方程形式：
\[ U(t, t_0) = 1 + (-i) \int_{t_0}^{t} dt_1 H_I(t_1) U(t_1, t_0) \]
这个形式的好处在于，它允许我们进行迭代求解：将方程右边的 $ U(t_1, t_0) $ 用其自身的表达式（即整个方程）代入，如此反复。
- 迭代过程与级数的诞生
- 零阶近似：忽略相互作用，即 \(U(t, t_0) \approx 1\)。
- 一阶近似：将零阶近似代入积分方程右边：
\[ U(t, t_0) \approx 1 + (-i) \int_{t_0}^{t} dt_1 H_I(t_1) \cdot 1 \]
* **二阶近似**：将一阶近似代入积分方程右边：
\[ U(t, t_0) \approx 1 + (-i)\int_{t_0}^{t} dt_1 H_I(t_1) \left[ 1 + (-i) \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H_I(t_2) U(t_2, t_0) \right] \]
忽略 $ U(t_2, t_0) $ 的更高级项，得到：
\[ U(t, t_0) \approx 1 + (-i) \int_{t_0}^{t} dt_1 H_I(t_1) + (-i)^2 \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 H_I(t_1) H_I(t_2) \]
* **无穷迭代**：持续此过程，得到一个无穷级数。这个级数由弗里曼·戴森系统阐述，故称戴森级数：
\[ U(t, t_0) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (-i)^n \int_{t_0}^{t} dt_1 \int_{t_0}^{t_1} dt_2 \cdots \int_{t_0}^{t_{n-1}} dt_n H_I(t_1) H_I(t_2) \cdots H_I(t_n) \]
- 时间编序与紧凑形式
级数中的积分区域是“时间有序”的（\(t \ge t_1 \ge t_2 \ge \cdots \ge t_0\)），这保证了因果性。为了处理方便，引入时序积（T-积），它自动将算符按时间从晚到早（从右到左）排列。利用时序积，可以证明戴森级数有一个极其紧凑的表达式：
\[ U(t, t_0) = T \left\{ \exp\left[ -i \int_{t_0}^{t} d\tau H_I(\tau) \right] \right\} \]
这里的指数函数被定义为展开成幂级数，而时序算符 T 作用在每一项上。这个形式上是简洁的，但在实际计算中，仍需展开为前述的级数形式。
- 与散射矩阵和费曼图的联系
在散射理论中，S矩阵（散射矩阵）定义为初态 \(|i\rangle\) 和末态 \(|j\rangle\) 在 \(t \to +\infty, t_0 \to -\infty\) 之间的演化振幅：
\[ S_{fi} = \langle f| U(+\infty, -\infty) |i\rangle \]
因此，戴森级数直接给出了S矩阵的微扰展开式。具体计算时，将 $ H_I(t) $ 用场算符表示（例如，$ H_I = \int d^3x \mathcal{H}_I(\phi(x)) $）。将戴森级数代入S矩阵元，展开到特定阶数，所得到的表达式正是对应阶数的**费曼图**的总和。戴森级数提供了生成费曼图的系统算法基础，每一项积分对应一类特定的费曼图及其顶点的时间积分顺序。