散射矩阵

字数 1876 2025-12-14 04:49:18

散射矩阵

散射矩阵（S矩阵）是量子场论中描述散射过程的核心工具，它建立了初态与末态之间的概率幅联系，完全包含了相互作用系统的动力学信息。

第一步：散射过程的物理图像
考虑一个典型的散射实验：初始时刻 \(t \to -\infty\)，若干粒子相距遥远，可视为自由粒子；它们逐渐靠近并发生相互作用；最终时刻 \(t \to +\infty\)，产物分离为自由的末态粒子。S矩阵的目的就是给出从特定初态到特定末态的跃迁概率幅。

第二步：S矩阵的严格定义
设 \(|i\rangle\) 和 \(|f\rangle\) 分别是自由哈密顿量 \(H_0\) 的本征态（即渐近初态和末态），相互作用哈密顿量为 \(H_{\text{int}}\)。S矩阵元定义为：

\[S_{fi} = \lim_{t' \to +\infty} \lim_{t \to -\infty} \langle f | U(t', t) | i \rangle \]

其中 \(U(t', t)\) 是完整哈密顿量 \(H = H_0 + H_{\text{int}}\) 的时间演化算符。物理上要求初末态为自由态，因此需用相互作用绘景（之前已讲）将时间演化归入相互作用部分。

第三步：用相互作用绘景表达S矩阵
在相互作用绘景下，态矢量随时间的演化由 \(U_I(t, t_0)\) 描述，满足：

\[i \frac{\partial}{\partial t} U_I(t, t_0) = H_I(t) U_I(t, t_0), \quad H_I(t) = e^{iH_0(t-t_0)} H_{\text{int}} e^{-iH_0(t-t_0)} \]

则S矩阵可写为：

\[S = U_I(+\infty, -\infty) \]

S矩阵元即为 \(S_{fi} = \langle f | U_I(+\infty, -\infty) | i \rangle\)。

第四步：微扰展开与戴森级数
若相互作用较弱，可将 \(U_I\) 展开为戴森级数：

\[U_I(+\infty, -\infty) = T \left\{ \exp\left[-i \int_{-\infty}^{+\infty} dt\, H_I(t) \right] \right\} \]

其中 \(T\) 是时序积算符。展开后得到：

\[S = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!} \int_{-\infty}^{+\infty} dt_1 \cdots dt_n\, T\{ H_I(t_1) \cdots H_I(t_n) \} \]

每一项对应特定阶数的费曼图，从而可用微扰论（之前已讲）计算散射振幅。

第五步：S矩阵的性质

幺正性：\(S^\dagger S = SS^\dagger = 1\)，保证概率守恒。
洛伦兹不变性：在相对论性量子场论中，S矩阵元是洛伦兹标量。
连通性与截肢：S矩阵可分解为连通部分与不相连部分，实际物理散射由连通图贡献，并且外线需用截肢规则处理（即只考虑 amputated diagrams）。

第六步：散射振幅与LSZ约化公式
对于实际计算，S矩阵元与格林函数通过LSZ（Lehmann–Symanzik–Zimmermann）公式联系。对于标量场 \(\phi(x)\)，初态有 \(m\) 个入粒子，末态有 \(n\) 个出粒子：

\[\langle p_1 \dots p_n \; \text{out} | q_1 \dots q_m \; \text{in} \rangle = \text{连通截肢格林函数的傅里叶变换} \]

LSZ公式将S矩阵元表示为场算符的推迟关联函数，从而可利用路径积分（之前已讲）生成泛函技术计算。

第七步：物理意义与观测量的提取
S矩阵元 \(S_{fi}\) 的模方 \(|S_{fi}|^2\) 给出初态 \(i\) 到末态 \(f\) 的跃迁概率。扣除平凡部分（即无相互作用的恒等过程），定义 \(T\) 矩阵：

\[S = 1 + i T \]

则散射截面、衰变宽度等实验可观测量均正比于 \(|T_{fi}|^2\)，并包含动量守恒 δ 函数与相空间因子。

散射矩阵散射矩阵（S矩阵）是量子场论中描述散射过程的核心工具，它建立了初态与末态之间的概率幅联系，完全包含了相互作用系统的动力学信息。第一步：散射过程的物理图像考虑一个典型的散射实验：初始时刻 \( t \to -\infty \)，若干粒子相距遥远，可视为自由粒子；它们逐渐靠近并发生相互作用；最终时刻 \( t \to +\infty \)，产物分离为自由的末态粒子。S矩阵的目的就是给出从特定初态到特定末态的跃迁概率幅。第二步：S矩阵的严格定义设 \( |i\rangle \) 和 \( |f\rangle \) 分别是自由哈密顿量 \( H_ 0 \) 的本征态（即渐近初态和末态），相互作用哈密顿量为 \( H_ {\text{int}} \)。S矩阵元定义为： \[ S_ {fi} = \lim_ {t' \to +\infty} \lim_ {t \to -\infty} \langle f | U(t', t) | i \rangle \] 其中 \( U(t', t) \) 是完整哈密顿量 \( H = H_ 0 + H_ {\text{int}} \) 的时间演化算符。物理上要求初末态为自由态，因此需用相互作用绘景（之前已讲）将时间演化归入相互作用部分。第三步：用相互作用绘景表达S矩阵在相互作用绘景下，态矢量随时间的演化由 \( U_ I(t, t_ 0) \) 描述，满足： \[ i \frac{\partial}{\partial t} U_ I(t, t_ 0) = H_ I(t) U_ I(t, t_ 0), \quad H_ I(t) = e^{iH_ 0(t-t_ 0)} H_ {\text{int}} e^{-iH_ 0(t-t_ 0)} \] 则S矩阵可写为： \[ S = U_ I(+\infty, -\infty) \] S矩阵元即为 \( S_ {fi} = \langle f | U_ I(+\infty, -\infty) | i \rangle \)。第四步：微扰展开与戴森级数若相互作用较弱，可将 \( U_ I \) 展开为戴森级数： \[ U_ I(+\infty, -\infty) = T \left\{ \exp\left[ -i \int_ {-\infty}^{+\infty} dt\, H_ I(t) \right ] \right\} \] 其中 \( T \) 是时序积算符。展开后得到： \[ S = \sum_ {n=0}^{\infty} \frac{(-i)^n}{n!} \int_ {-\infty}^{+\infty} dt_ 1 \cdots dt_ n\, T\{ H_ I(t_ 1) \cdots H_ I(t_ n) \} \] 每一项对应特定阶数的费曼图，从而可用微扰论（之前已讲）计算散射振幅。第五步：S矩阵的性质幺正性：\( S^\dagger S = SS^\dagger = 1 \)，保证概率守恒。洛伦兹不变性：在相对论性量子场论中，S矩阵元是洛伦兹标量。连通性与截肢：S矩阵可分解为连通部分与不相连部分，实际物理散射由连通图贡献，并且外线需用截肢规则处理（即只考虑 amputated diagrams）。第六步：散射振幅与LSZ约化公式对于实际计算，S矩阵元与格林函数通过LSZ（Lehmann–Symanzik–Zimmermann）公式联系。对于标量场 \( \phi(x) \)，初态有 \( m \) 个入粒子，末态有 \( n \) 个出粒子： \[ \langle p_ 1 \dots p_ n \; \text{out} | q_ 1 \dots q_ m \; \text{in} \rangle = \text{连通截肢格林函数的傅里叶变换} \] LSZ公式将S矩阵元表示为场算符的推迟关联函数，从而可利用路径积分（之前已讲）生成泛函技术计算。第七步：物理意义与观测量的提取 S矩阵元 \( S_ {fi} \) 的模方 \( |S_ {fi}|^2 \) 给出初态 \( i \) 到末态 \( f \) 的跃迁概率。扣除平凡部分（即无相互作用的恒等过程），定义 \( T \) 矩阵： \[ S = 1 + i T \] 则散射截面、衰变宽度等实验可观测量均正比于 \( |T_ {fi}|^2 \)，并包含动量守恒 δ 函数与相空间因子。