小波变换
字数 1563 2025-12-14 03:41:26

小波变换

  1. 背景与核心问题：傅里叶变换是分析信号频率成分的基石工具。然而，它在时域上没有任何分辨率，即我们可以通过傅里叶变换知道一个信号包含哪些频率，但无法知道这些频率成分具体发生在什么时间。对于频率成分随时间变化的信号（如音乐、地震波、心电信号），我们需要一种既能分析频率又能定位时间的数学工具。这就是小波变换要解决的核心问题：信号的时频局部化分析。

  2. 基本思想：与傅里叶变换使用无限延伸的正弦波作为基函数不同，小波变换使用一种有限长度、快速衰减（均值为零）的波——“小波”作为基函数。这个基函数（母小波）可以通过平移和缩放生成一系列函数族。平移操作用于定位分析的时间点，缩放操作（即拉伸或压缩小波）用于对应分析不同的频率范围：尺度越小，小波越“窄”，用于分析高频成分（细节）；尺度越大，小波越“宽”，用于分析低频成分（概貌）。

  3. 连续小波变换：这是最基础的形式。对于一个连续信号 \(x(t)\)，其连续小波变换定义为：

\[ CWT(a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) \, \psi^*\left(\frac{t-b}{a}\right) dt \]

其中：
*   $ \psi(t) $ 是选定的母小波函数。
*   $ a $ 是尺度参数（与频率成反比，$ a $ 越小对应越高频）。
*   $ b $ 是平移参数（定位时间中心）。
*   $ \frac{1}{\sqrt{|a|}} $ 是能量归一化因子，确保不同尺度下小波的能量恒定。
*   $ \psi^* $ 表示复共轭。
结果 $ CWT(a, b) $ 是一个二维系数矩阵（尺度-平移平面），反映了信号在不同时间、不同尺度（频率带）上的“相似程度”或“能量强度”。

  1. 离散小波变换：CWT计算量大且信息冗余。为实际应用，需要对尺度参数 \(a\) 和平移参数 \(b\) 进行离散化采样。最常用的是二进离散：取 \(a = 2^j\)， \(b = k \cdot 2^j\)（其中 \(j, k\) 为整数）。通过精心选择满足特定条件的母小波（如紧支撑、正交性），可以构造出一组正交小波基。离散小波变换将信号分解到一系列互相正交的子空间上。

  2. 多分辨率分析与Mallat算法：这是DWT的灵魂。它将信号空间表示为一系列嵌套的近似空间 \(V_j\) 和它们之间的细节空间 \(W_j\)。任何信号 \(x(t)\) 都可以被分解为“近似”和“细节”两部分：

    • 近似系数：信号在粗分辨率（低频概貌）下的投影。
    • 细节系数：信号在当前分辨率与下一更粗分辨率之间的差异（高频细节）。
      这一过程可以通过一对精心设计的滤波器（低通滤波器h[n]和高通滤波器g[n]）迭代实现，这就是著名的Mallat算法（或塔式算法）：
    • 分解：信号通过低通滤波器得到近似系数，通过高通滤波器得到细节系数，然后对结果进行下采样（通常抽去一半数据）。可对近似系数重复此过程，进行多级分解。
    • 重构：对近似和细节系数进行上采样（插零），再分别通过对应的重构低通和高通滤波器，最后相加，可完美重建原信号。滤波器的选择由小波函数决定。

  3. 应用简述：

    • 数据压缩：小波变换能量集中，可丢弃小的细节系数（如JPEG 2000图像标准）。
    • 去噪：信号能量集中在少数大系数，噪声能量分散。通过设置阈值（如软阈值、硬阈值）去除小系数（噪声），再重构，可有效去噪。
    • 特征提取：不同尺度的细节系数可反映信号的突变、纹理、模式等特征，用于模式识别（如故障诊断、生物特征识别）。
    • 多尺度分析：在气象、金融、医学成像中分析不同时间/空间尺度下的现象。
小波变换 背景与核心问题 ：傅里叶变换是分析信号频率成分的基石工具。然而，它在时域上没有任何分辨率，即我们可以通过傅里叶变换知道一个信号包含哪些频率，但无法知道这些频率成分具体发生在什么时间。对于频率成分随时间变化的信号（如音乐、地震波、心电信号），我们需要一种既能分析频率又能定位时间的数学工具。这就是小波变换要解决的核心问题：信号的时频局部化分析。 基本思想 ：与傅里叶变换使用无限延伸的正弦波作为基函数不同，小波变换使用一种有限长度、快速衰减（均值为零）的波——“小波”作为基函数。这个基函数（母小波）可以通过平移和缩放生成一系列函数族。 平移 操作用于定位分析的时间点， 缩放 操作（即拉伸或压缩小波）用于对应分析不同的频率范围：尺度越小，小波越“窄”，用于分析高频成分（细节）；尺度越大，小波越“宽”，用于分析低频成分（概貌）。 连续小波变换 ：这是最基础的形式。对于一个连续信号 \( x(t) \)，其连续小波变换定义为： \[ CWT(a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_ {-\infty}^{\infty} x(t) \, \psi^* \left(\frac{t-b}{a}\right) dt \] 其中： \( \psi(t) \) 是选定的母小波函数。 \( a \) 是尺度参数（与频率成反比，\( a \) 越小对应越高频）。 \( b \) 是平移参数（定位时间中心）。 \( \frac{1}{\sqrt{|a|}} \) 是能量归一化因子，确保不同尺度下小波的能量恒定。 \( \psi^* \) 表示复共轭。 结果 \( CWT(a, b) \) 是一个二维系数矩阵（尺度-平移平面），反映了信号在不同时间、不同尺度（频率带）上的“相似程度”或“能量强度”。 离散小波变换 ：CWT计算量大且信息冗余。为实际应用，需要对尺度参数 \( a \) 和平移参数 \( b \) 进行离散化采样。最常用的是二进离散：取 \( a = 2^j \)， \( b = k \cdot 2^j \)（其中 \( j, k \) 为整数）。通过精心选择满足特定条件的母小波（如紧支撑、正交性），可以构造出一组正交小波基。离散小波变换将信号分解到一系列互相正交的子空间上。 多分辨率分析与Mallat算法 ：这是DWT的灵魂。它将信号空间表示为一系列嵌套的近似空间 \( V_ j \) 和它们之间的细节空间 \( W_ j \)。任何信号 \( x(t) \) 都可以被分解为“近似”和“细节”两部分： 近似系数 ：信号在粗分辨率（低频概貌）下的投影。 细节系数 ：信号在当前分辨率与下一更粗分辨率之间的差异（高频细节）。 这一过程可以通过一对精心设计的滤波器（ 低通滤波器h[ n]和高通滤波器g[ n] ）迭代实现，这就是著名的Mallat算法（或塔式算法）： 分解 ：信号通过低通滤波器得到近似系数，通过高通滤波器得到细节系数，然后对结果进行 下采样 （通常抽去一半数据）。可对近似系数重复此过程，进行多级分解。 重构 ：对近似和细节系数进行 上采样 （插零），再分别通过对应的重构低通和高通滤波器，最后相加，可完美重建原信号。滤波器的选择由小波函数决定。 应用简述 ： 数据压缩 ：小波变换能量集中，可丢弃小的细节系数（如JPEG 2000图像标准）。 去噪 ：信号能量集中在少数大系数，噪声能量分散。通过设置阈值（如软阈值、硬阈值）去除小系数（噪声），再重构，可有效去噪。 特征提取 ：不同尺度的细节系数可反映信号的突变、纹理、模式等特征，用于模式识别（如故障诊断、生物特征识别）。 多尺度分析 ：在气象、金融、医学成像中分析不同时间/空间尺度下的现象。