麦克斯韦方程组

1. 静电与静磁的基本定律
   电与磁最初是独立研究的。库仑定律描述静止点电荷间的相互作用力：真空中两个点电荷之间的作用力与电荷量的乘积成正比，与距离平方成反比，方向沿连线。静磁方面，类似地有磁极间的作用力规律（但磁单极不存在）。更重要是安培发现的电流元间相互作用力的安培定律。此外，实验总结出静止电荷产生电场，稳定电流产生磁场，两者在静态下互不影响。

2. 变化磁场产生电场：法拉第定律
   奥斯特发现电流能产生磁场后，法拉第发现变化的磁场也能产生电的现象，即电磁感应。闭合线圈中的感应电动势与穿过线圈的磁通量变化率成正比，方向由楞次定律决定。麦克斯韦将其数学化为积分形式：闭合回路中的感应电动势等于穿过该回路所围面积的磁通量变化率的负值。这揭示变化的磁场能激发涡旋电场（非保守场），将电与磁的动态联系建立起来。

3. 变化电场产生磁场：位移电流假设
   安培环路定律原来只适用于恒定电流：磁场沿闭合回路的环流等于穿过该回路的电流。但在电容器充电等非恒定过程中，该定律出现矛盾。麦克斯韦提出“位移电流”概念：变化的电场本身也是一种电流效应。位移电流密度等于电场变化率与真空介电常数的乘积。修改后的安培定律表明，变化的电场也能激发磁场，与法拉第定律形成对称性。

4. 四个方程的整合与物理意义
   麦克斯韦将当时已知的电磁规律归纳为四个方程（微分或积分形式）：
   (1) 高斯电场定律：穿过闭合曲面的电通量等于曲面内电荷除以介电常数。描述电荷产生电场，电场线始于正电荷终于负电荷。
   (2) 高斯磁场定律：穿过闭合曲面的磁通量恒为零。表明磁单极不存在，磁场线是闭合的。
   (3) 法拉第电磁感应定律：变化磁场产生涡旋电场。
   (4) 安培-麦克斯韦定律：电流和变化电场共同产生涡旋磁场。
   这四个方程构成经典电磁学的完整理论基础。

5. 电磁波的预言与光速
   从方程组可推导出在无源真空中，电场和磁场满足波动方程。推导显示电磁波以速度 \(c = 1/\sqrt{\varepsilon_0 \mu_0}\) 传播，此数值与测得的光速吻合，从而预言光是一种电磁波。方程组还表明电磁波是横波，电场与磁场相互垂直且同相位，均垂直于传播方向。

6. 相对论与协变形式
   麦克斯韦方程组本身已隐含相对论不变性，启发了爱因斯坦建立狭义相对论。在相对论中，电场和磁场统一为二阶反对称张量（电磁场张量），四个方程可合并为两个协变张量方程，更简洁地反映时空结构与电磁场的本质统一。